АИКИ

Уравнения и характеристики типовых звеньев АИС

К типовым звеньям АИС относятся простейшие звенья, которые имеют уравнения не выше второго порядка.

Безынерционное (усилительное) звено осуществляет наиболее простое преобразование входной величины — усиление без запаздывания. Его уравнение имеет вид:

Изображение,                                 (1.7)

где k – постоянная величина ( коэффициент усиления).

Чтобы выяснить свойства безынерционного звена, применим операторный метод и запишем уравнение (1.7) в изображениях

Изображение

Передаточная функция звена

Изображение,

(см.формулу 1.5).

Отсюда h(t)=k, т.е. переходная характеристика безынерционного звена есть прямая  линия (рис. 1.10,а).

Используя соотношение (1.6), получаем комплексный коэффициент усиления

Изображение                             (1.8)

Из выражения (1.8) следует, что график амплитудо-фазовой характеристики (АФХ) безынерционного звена есть точка на действительной оси на расстоянии k от начала координат (рис.1.10,б). На рис.1.10, в приведена фазо-частотная характеристика (ФЧХ) =0 безынерционного звена.

Текстовое полеИзображениеИнерционное (апериодическое) звено описывается дифференциальным уравнением первого порядка

Изображение                   (1.9)

и характеризуется двумя числовыми величинами:

k — коэффициентом усиления, который определяет статические свойства звена, т.е. величину уС, в статическом режиме Изображение

— постоянной времени, которая определяет длительность переходного процесса (инерционность) звена.

Уравнение (1.9) в изображениях при нулевых начальных условиях имеет вид:

Изображение.

Отсюда получаем передаточную и переходную функцию инерционного звена

Изображение.      (1.10)

Оригинал h(t) будет иметь вид:

Изображение

т.е. переходная характеристика инерционного звена есть возрастающая экспонента (рис.1.11,а). Величина определяется геометрически как проекция касательной в любой точке экспоненты. За время  выходная величина достигает 63% своего конечного значения. Время переходного процесса принимается равным 3.

ИзображениеТекстовое полеПроизведя замену р = j в (1.10), получаем комплексный коэффициент усиления инерционного звена

Изображение.                     (1.11)

Из выражения (1.11) определяется модуль А и аргумент :

Изображение                   (1.12) 

На рис.1.11,б приведена АФХ инерционного звена, построенная по выражениям (1.12) при изменении  от 0 до Изображение. Она представляет собой полуокружность в четвертом квадранте с центром, расположенным на действительной оси на расстоянии R= k/2 от начала координат. Из графика АФХ видно, что инерционное звено является фильтром низких частот. За полосу пропускания звена принято считать диапазон частот

Изображение,

когда коэффициент усиления изменяется от k до Изображение. При Изображение. На рис.1.11,в приведена ФЧХ инерционного звена.

Колебательное звено описывается дифференциальным уравнением второго порядка

Изображение           (1.13)

От вида корней характеристического уравнения 

Изображение

зависит характер переходного процесса может быть колебательным затухающим (корни комплексно-сопряжённые, рис.1.12,а), колебательным незатухающим (корни чисто мнимые, рис.1.12, б) и апериодическим (корни вещественные, рис. 1.12, в).

При нулевых начальных условиях уравнение (1.13) в изображениях имеет вид:

Изображение.   (1.14)

Из уравнения (1.14) находим передаточную и переходную функцию колебательного звена

Изображение

и комплексный коэффициент усиления

Изображение Изображение

Текстовое полеНа рис.1.12,г показана АФХ колебательного звена. При Изображение в работе звена может наблюдаться резонанс, когда коэффициент усиления амплитуды больше статического коэффициента k. При Изображение На рис.1.12,д приведена ФЧХ колебательного звена.

Дифференцирующе звено даёт на выходе величину, пропорциональную производной от входной величины. 

Идеальное дифференцирующее звено описывается уравнением

Изображение

или в изображениях при нулевых начальных условиях

Изображение                        (1.15)

Из уравнения (1.15) следует:

Изображение .                (1.16)

Оригинал h(t):

Изображение.

График переходной характеристики имеет вид мгновенного импульса (рис.1.13,а) с амплитудой равной бесконечности. Если на вход идеального дифференцирующего звена подана синусоида, то на выходе сигнал будет изменяться по косинусоиде (рис.1.13,б).

Текстовое полеИзображениеИз выражения (1.16) получаем комплексный коэффициент усиления идеального дифференцирующего звена:

Изображение.

АФК совпадает с положительной мнимой полуосью, так как Изображение и Изображение(рис.1.13,в).

Реальное дифференцирующее звено описывается уравнением

Изображение

или в изображениях при нулевых начальных условиях

Изображение.

Передаточная и переходная функции звена

Изображение.                  (1.17)

Оригинал h(t)

Изображение

Переходная характеристика приведена на рис.1.14, а. Реальные дифференцирующие звенья дают на выходе производную с некоторым искажением, которое заключается в том, что амплитуда выходного импульса конечна, а сдвиг по фазе не равен  точно 900 (рис.1.14,в).

Текстовое полеИзображениеИз выражения (1.17) получаем комплексный коэффициент усиления реального дифференцирующего звена

Изображение,

причём

Изображение.

АФХ имеет вид полуокружности в первом квадранте (рис.1.14,б). Таким образом, инерционность реального звена уменьшает опережение по фазе тем больше, чем выше угловая частота , что также видно из графика ФЧХ (рис.1.14,б).

Идеальное интегрирующее звено описывается уравнением

Изображение                            (1.18)

или в интегральной  форме

Изображение         (1.19)

т.е. выходная величина пропорциональна интегралу по времени от входной величины.

Уравнение (1.18) в изображениях имеет вид

Изображение

тогда изображение передаточной и переходной функции

Изображение. (1.20)

Оригинал h(t)

Изображение .                            (1.21)

Текстовое полеИзображениеСогласно (1.21) переходная характеристика есть прямая линия  с углом наклона  = arctg k (рис.1.15,а), ординаты которой при данном t равны площади под  кривой х(t), т. е. значению интеграла (1.19). В качестве интегрирующего часто используют инерционное звено, которое выполняет интегрирование на прямолинейном участке экспоненты (см. рис.1.11,а). При этом, чем больше постоянная времени , тем с большей точностью выполняется интегрирование.

Из выражения (1.20) получаем комплексный коэффициент усиления интегрирующего звена:

Изображение

Так как Изображение и Изображение, то АФХ совпадает с отрицательной мнимой полуосью (рис.1.15, б), т.е. в идеальном интегрирующем звене выходные колебания отстают по  фазе от входных на угол 90° (рис. 1.15, в).

Пермь Питер Пятигорск