Теория

Критерии подобия

Однородными физическими величинами называются величины, имеющие одинаковые размерности и физический смысл, т.е. отличающийся лишь по численной величине (например, координаты точек тела и его линейные размеры).

Одноименными физическими величинами называются величины, имеющие одинаковую размерность, но различный физический смысл. Примером одноименных величин могут служить коэффициент диффузии и кинематическая вязкость.

Безразмерными называются величины, численные значения которых не зависят от выбора системы единиц измерения. Например, отношение двух однородных или двух одноименных величин является безразмерной величиной. Отношение двух однородных величин называется симплексом.

Аксиомы теории размерностей.

а) Численное значение а физической величины А равно отношению этой величины к единице ее измерения [А]:

clip_image002

б) Физическая величина не зависит от выбора ее единицы измерения, т.е. при увеличении единицы измерения в q раз численное значение данной физической величины уменьшается в q раз.

в) Математическое описание какого – либо физического явления, указывающее функциональную зависимость между численными значениями физических величин, не зависит от выбора единиц измерения этих величин. Следовательно, все члены уравнения, описывающего физический процесс, должны иметь одинаковую размерность, так что они могут быть преобразованы к безразмерному виду путем деления обеих частей уравнения на какую – нибудь постоянную величину, имеющую ту же размерность.

π – теорема: всякое соотношение между n размерными величинами, для измерения которых использовано k основных единиц измерения, можно представить в виде отношения между n- k безразмерными комбинациями π1,…, clip_image004 этих n величин.

Некоторые следствия π – теоремы: а) если n- k = 0, то это значит, что уравнение clip_image006составлено неверно, так как его нельзя привести к безразмерному виду; б) если clip_image008.

Два физических процесса называются подобными, если они подчинены одним и тем же физическим законам и все величины clip_image010, характеризующие один процесс, могут быть получены путем умножения однородных с ними величин clip_image012, характеризующих другой процесс, на постоянные числа clip_image014, которые называются константами подобия и одинаковы для всех однородных величин: clip_image016.

Критериями подобия называются безразмерные степенные комплексы, которые входят в безразмерное математическое описание рассматриваемого процесса, составленное с помощью π – теоремы. Для установления вида критериев подобия в каждом конкретном случае необходимо с помощью дифференциальных уравнений процесса и условий однозначности их решения составить список всех размерных величин А1,…, Аn, характеризующих этот процесс, а затем применить π – теорему к функциональной зависимости clip_image018, представляющей собой неизвестный интеграл (решение) задачи.

Определяющими критериями подобия называются критерии, которые составлены только из величин, заданных в условиях однозначности, и независимых переменных.

Первая теорема подобия: для двух подобных процессов все критерии подобия попарно равны друг другу, т.е.

clip_image020 clip_image022 и т.д.

Вторая теорема подобия: критерии подобия связаны друг с другом уравнением подобия, которое является безразмерным решением (интегралом) рассматриваемой задачи, справедливым для всех подобных процессов.

Третья теорема подобия: для того чтобы два процесса были подобны, необходимо и достаточно, чтобы они были качественно одинаковы, а их определяющие критерии – попарно равны.

Качественно одинаковыми называются процессы, математические описания которых отличаются только численными значениями содержащихся в них размерных величин.

Теория подобия является научной основой экспериментальных исследований сложных явлений методом моделирования и методом аналогии.

Метод моделирования состоит в воспроизведении и исследовании на модели процессов, качественно одинаковых с процессами, имеющими место в реальных объектах. Результаты эксперимента могут быть распространены на эти объекты, если соблюдены условия, сформулированные в третьей теореме подобия.

Метод аналогии состоит в изучении какого – либо процесса путем экспериментального исследования качественно других физических процессов, дифференциальные уравнения протекания которых и условия однозначности по своей форме совпадают с таковыми для изучаемого процесса. В настоящее время широко применяются экспериментальные методы исследования различных явлений, основанные на аналогии между электрическими, гидродинамическими, тепловыми, механическими и другими явления. Применительно к тепловым процессам метод аналогии страдает существенным недостатком, так как не позволяет учесть зависимость от температуры физических свойств среды (вязкость, теплопроводности, теплоемкости и т.д.).

Основными критериями подобия в гидродинамике являются число Рейнольдса Re, число Фруда Fr, число Струхаля St и число Маха М.

Число Рейнольдса clip_image024, где υ – характерная для данной задачи скорость жидкости, l – характерный линейный размер, ν – кинематическая вязкость жидкости. Выбор характерной скорости и характерного размера в зависимости от рассматриваемой задачи можно производить по-разному. Например, при течении несжимаемой жидкости в круглой трубе диаметром d величина clip_image026, а υ – средняя по сечению скорости жидкости clip_image028где Vсек – секундный объемный расход жидкости); при поперечном обтекании жидкостью круглого цилиндра диаметром d величина clip_image026[1], а υ – скорость невозмущенной жидкости, т.е. ее скорость вдали перед цилиндром. Число Рейнольдса характеризует соотношение между силами инерции и силами трения в потоке жидкости.

Число Фруда Fr = clip_image030, где υ – скорость жидкости вдали от обтекаемого ею тела, l – характерный линейный размер тела, g – ускорение силы тяжести. Число Фруда характеризует соотношение между силами инерции и силами тяжести в потоке жидкости. Оно играет важную роль при моделировании процессов, связанных с работой различных гидротехнических сооружений, движением корабля и т.п. При моделировании газовых потоков этот критерий подобия не играет сколько – либо существенной роли, так как ввиду малой плотности газов влиянием силы тяжести обычно можно пренебречь.

Число Струхаля является критерием подобия неустановившихся движений жидкости. Оно равно St = clip_image032, где υ – характерная скорость, l – характерный линейный размер, а Т – характерный интервал времени (например, для периодических движений Т – период).

Число Маха М = clip_image034, где υ – скорость жидкости в рассматриваемой точке, с – скорость звука (в жидкости) в той же точке. Число М является мерой влияния сжимаемости жидкости на ее движение. В тех случаях, когда М « 1, жидкость можно считать несжимаемой. Движение сжимаемой называется дозвуковым, если М < 1, и сверхзвуковым, если М >1. Число М является основным критерием подобия для установившихся движений сжимаемой жидкости, совершающихся с большими скоростями.

Основными критериями подобия в случае стационарной теплоотдачи при свободной конвекции несжимаемой жидкости являются критерии Нуссельта Nu, Грасгофа Gr и Прандтля Pr, а в случае стационарной теплоотдачи при вынужденной конвекции – критерии Nu, Re и Pr. Часто применяется также критерий Пекле Ре = Re Pr.

Критерий Нуссельта: clip_image036где α – коэффициент теплоотдачи, l – характерный размер, К – коэффициент теплопроводности жидкости.

Критерий Прандтля характеризует физические свойства жидкости. Он равен clip_image038, где ν – кинематическая вязкость жидкости, а – ее коэффициент температуропроводности, η и с – динамическая вязкость и удельная теплоемкость жидкости (для газов с = ср).

Критерий Грасгофа: clip_image040, где clip_image042 — термодинамический коэффициент расширяемости жидкости, ν — ее кинематическая вязкость, g – ускорение свободного падения, l — характерный размер, clip_image044— температурный напор, равный абсолютной величине разности между температурами жидкости и стенки.

Пермь Питер Пятигорск