АИКИ

Понятие о передаточных функциях и частотных характеристиках АИС

В общем случае динамика линейных АИС описывается неоднородным линейным дифференциальным уравнением с постоянными вещественными коэффициентами:

Изображение (1.1)

где Изображение— постоянные вещественные коэффициенты;

Изображение— производные 1-го, …, n-го порядка от выходной величины;

Изображение— производные 1-го, …, n-го порядка от входной величины.

Операционное исчисление, основанное на преобразовании Лапласа и Карсона – Хевисайда, широко применяется для  расчёта процессов, которые описываются линейными дифференциальными уравнениями. Напомним, что если f(t) – оригинал функции, то функция F(p), называемая изображением, по Карсону – Хевисайду определяется следующим образом:

Изображение (1.2)

Изображение некоторых простейших функций следующие:

а). Изображение постоянной. Если f(t)=A, то подставив f(t) в (1.2), получим:

Изображение . б). Изображение первой производной. Подставим Изображение в (1.2) и получим:

Изображение.

Интегрирование произведём по частям. Обозначим

Изображение и Изображение; Изображение.

Cледовательно,

Изображение

Но 

Изображение,

а

Изображение.

Таким образом,

Изображение.

в). Изображение интеграла. Подставим Изображение в (1.2) и получим:

Изображение . Интегрирование произведём по частям. Обозначим

Изображение. Cледовательно

Изображение. Применяя операторный метод, основанный на преобразовании Карсона – Хевисайда, можно записать операторное выражение соответствующее дифференциальному уравнению (1.1):

Изображение,     (1.3)

где Y(p) и X(p) – соответственно изображения функций y(t) и x(t).

Если B(p) – характеристический полином степени m правой части уравнения (1.3), а А(р) – характеристический полином степени n левой части уравнения (1.3), то

Изображение.

После того как найдено изображение Y(p), находится сама функция-оригинал y(t) с помощью обратного преобразования.

Величина 

Изображение               (1.4)

называется передаточной функцией системы. Она равна отношению изображения выходной величины к изображению входной величины при нулевых начальных значениях.

Передаточная функция является важнейшей характеристикой звеньев АИС, так как она полностью описывает их динамические свойства и естественным образом связана с переходной и частотными функциями.

Чтобы найти связь между переходной h(t) и передаточной К(р) функциями, рассмотрим соотношение

Изображение

и предположим, что x(t) – единичная ступенчатая функция. Тогда y(t) = h(t) или в изображениях

Изображение,

и

Изображение.                      (1.5)

Комплексный коэффициент усиления системы получается из передаточной функции путём замены p=j, т. е.

Изображение. (1.6)

K(j) представляет собой комплексное число и может быть записано в алгебраической и показательной формах:

Изображение .

Зависимость U=f( называют действительной (вещественной) частотной характеристикой звена или соответственно системы. Зависимость V=f() — мнимая частотная характеристика. Зависимость А=f() — амплитудная частотная характеристика и =f() — фазовая частотная характеристика. Зависимость Л=f(lg) называют логарифмической частотной характеристикой. Характеристика Изображение, построенная в полярных координатах, называется амплитудно-фазовой частотной характеристикой.

ИзображениеПусть система образована несколькими последовательно включёнными звеньями, например тремя (рис.1.6).

Текстовое полеОбозначим: K1(p) — передаточная функция первого звена; К2(р) – второго; Кз(р) — третьего. Тогда операторные изображения выходных величин звеньев можно выразить через операторные изображения входных величин звеньев следующим образом:

Изображение

Подставив первое во второе, а второе в третье получим:

Изображение

или

Изображение ,

где

Изображение

Таким образом, для получения передаточной функции нескольких последовательно включённых звеньев следует перемножить передаточные функции этих звеньев.

ИзображениеПусть система образована несколькими параллельно включёнными звеньями, например тремя (рис.1.7). 

Текстовое полеОбозначим: K1(p) — передаточная функция первого звена; К2(р) – второго; Кз(р) — третьего. Тогда операторные изображения выходных величин звеньев можно выразить через операторные изображения входных величин звеньев следующим образом:

Изображение

Изображение

Выходная величина всей системы определится как сумма выходных величин отдельных звеньев:

Изображение

или

Изображение

где

Изображение.

Таким образом, для получения передаточной функции нескольких параллельно включённых звеньев следует просуммировать передаточные функции этих звеньев.

Пермь Питер Пятигорск