Теория

Структурные средние: мода, медиана

Модой называется значение изучаемого признака, имеющего наибольшую частоту и обозначают Мо.

В дискретном ряду мода определяется без вычисления как значение признака с наибольшей частотой. Обычно встречаются ряды с одним модальным значением признака. Если два или несколько равных (и даже несколько различных, но больших, чем соседние) значений признака имеются в вариационном ряду, он считается соответственно бимодальным («верблюдообразным») либо мультимодальным. Это говорит о неоднородности совокупности, возможно, представляющей собой сумму нескольких совокупностей с разными модами.

В интервальном вариационном ряду и при непрерывной вариации признака, предполагается, что каждое значение признака встречается только один раз. Модальным интервалом является интервал с наибольшей частотой. Внутри этого интервала находят условное значение признака, вблизи которого плотность распределения, т.е. число единиц совокупности, приходящееся на единицу измерения варьирующего признака, достигает максимума. Это условное значение и считается модой. Логично предположить, что такое значение располагается ближе к той из границ интервала, за которой частота в соседнем интервале больше частоты в интервале за другой границей модального интервала.

, (9)

— нижняя граница модального интервала;

— частота в модальном интервале;

— частота интервала предшествующего модальному;

— частота интервала следующего за модальным;

i — величина интервала.

Пример. Рассчитать моду по данным представленным в таблице.

Таблица 4

Распределение хозяйств области по урожайности зерновых культур

 

Урожайность,

ц/га, хi

Число

хозяйств, fi

Середина интервала,

ц/га, хi

хi fi

 

 

Накопленная

частота, fi

1

2

3

4

5

10-15

6

12,5

75,0

6

15-20

9

17.5

157,5

15

20-25

20

22,5

450,0

35

25-30

41

27,5

1127,5

76

30-35

26

32,5

845,0

102

35-40

21

37,5

787,5

123

40-45

14

42,5

595,0

137

45-50

5

47,5

237,5

142

50-55

1

52,5

52,5

143

Итого

143

 

4327,5

 

При изучении вариации применяются такие характеристики вариационного ряда, которые описывают количественно его структуру, строение. Такова, например, медиана — величина варьирующего признака, делящая совокупность на две равные части по числу единиц совокупности.

Медиана не зависит от значений признака на краях ранжированного ряда. Поэтому часто медиану используют как более надежный показатель типичного значения признака, нежели арифметическая средняя, если ряд значений неоднороден, включает резкие отклонения от средней.

При четном числе единиц совокупности за медиану принимают арифметическую среднюю величину из двух центральных вариант, например при 10 значениях признака — среднюю из пятого и шестого значений в ранжированном ряду.

В интервальном вариационном ряду для нахождения медианы применяется формула

(10)

где Me — медиана;

хе — нижняя граница интервала, в котором находится медиана;

п — число наблюдений;

накопленная частота в интервале, предшествующем медианному;

частота в медианном интервале;

i — величина медианного интервала.

Пример. Рассчитать значение медианы по условиям предшествующей задачи.

Решение. В нашем примере имеется нечетное число значений (143+1)/2 = 72, т.е. в середине ряда находится 72-е от начала ряда значение урожайности. Как видно из ряда накопленных частот (табл. 5.4), оно находится в четвертом интервале. Тогда

В равноинтервальном ряду медиана — это середина среднего интервала при их нечетном числе или средняя арифметическая из границ двух средних интервалов при их четном числе.

Пермь Питер Пятигорск