Теория

Оценка параметров линейного регрессионного уравнения

Для оценки параметров регрессионного уравнения наиболее часто используют метод наименьших квадратов (МНК), в основе которого лежит предположение о независимости наблюдений исследуемой совокупности. Сущность данного метода заключается в нахождении параметров модели (α, β), при которых минимизируется сумма квадратов отклонений эмпирических (фактических) значений результативного признака от теоретических, полученных по выбранному уравнению регрессии:

В итоге получаем систему нормальных уравнений:

(20)

Эту систему можно записать в виде:

(21)

Решая данную систему линейных уравнений с двумя неизвестными получаем оценки наименьших квадратов:

(22, 23)

В уравнениях регрессии параметр α показывает усредненное влияние на результативный признак неучтенных факторов, а параметр β – коэффициент регрессии показывает, насколько изменяется в среднем значение результативного признака при увеличении факторного на единицу.

Между линейным коэффициентом корреляции и коэффициентом регрессии существует определенная зависимость, выражаемая формулой:

(24)

где — коэффициент регрессии в уравнении связи;

— среднее квадратическое отклонение соответствующего статистически существенного факторного признака.

Пример.

Имеются следующие данные о размере страховой суммы и страховых возмещений на автотранспортные средства одной из страховых компаний.

Таблица 4

Зависимость между размером страховых возмещений и страховой суммой на автотранспорт

Объем страхового возмещения (тыс.долл.), Yi

Стоимость застрахованного автомобиля (тыс.долл.), Xi

1

0,1

8,8

2

1,3

9,4

3

0,1

10,0

4

2,6

10,6

5

0,1

11,0

6

0,3

11,9

7

4,6

12,7

8

0,3

13,5

9

0,4

15,5

10

7,3

16,7

Итого

17,1

120,1

Предположим наличие линейной зависимости между рассматриваемыми признаками.

Построим расчетную таблицу для определения параметров линейного уравнения регрессии объема страхового возмещения.

Таблица 5

Расчетная таблица для определения параметров уравнения регрессии

Объем страхового возмещения (тыс.долл.), Yi

Стоимость застрахованного автомобиля (тыс.долл.), Xi

х2

ху

1

0,1

8,8

77,44

0,88

0,052

2

1,3

9,4

88,36

12,22

0,362

3

0,1

10,0

100,00

1,00

0,672

4

2,6

10,6

112,36

27,56

0,982

5

0,1

11,0

121,00

1,10

1,188

6

0,3

11,9

141,61

3,57

1,653

7

4,6

12,7

161,29

58,42

2,066

8

0,3

13,5

182,25

4,05

2,479

9

0,4

15,5

240,25

6,20

3,513

10

7,3

16,7

278,89

121,91

4,133

Итого

17,1

120,1

1503,45

236,91

17,100

Система нормальных уравнений имеет вид:

,

Отсюда: а0=-4,4944; а1=0,5166.

Следовательно,

Значения в таблице получены путем подстановки значений факторного признака xi (стоимость застрахованного автомобиля) в полученное уравнение регрессии.

Коэффициент регрессии а1=0,5166 означает, что при увеличении стоимости застрахованного автомобиля на 1 тыс.долл., объем страхового возмещения возрастает в среднем на 0,5166 тыс.долл.

Пермь Питер Пятигорск