Теория

Показатели формы распределения

Для дальнейшего изучения характера вариации используются средние значения разных степеней отклонений отдельных величин признака от его средней арифметической величины. Эти показатели получили название центральных моментов распределения порядка, соответствующего степени, в которую возводятся отклонения, или начальных моментов.

Согласно свойству средней арифметической центральный момент первого порядка равен нулю, второй центральный момент представляет собой дисперсию. Величина третьего момента зависит, как и его знак, от преобладания положительных отклонений в кубе над отрицательными либо наоборот.

При нормальном и любом другом строго симметричном распределении сумма положительных отклонений в кубе строго равна сумме отрицательных отклонений в кубе. Центральный момент третьего порядка используется при оценке асимметрии. Четвертый момент используется для оценки эксцесса.

Центральные моменты

Порядок момента

 

 

Формула

по не сгруппированным данным

по сгруппированным данным

Первый

Второй

Третий

 

Четвертый

 

 

Показатели формы распределения:

Асимметрия (As) показатель характеризующий степень асимметричности распределения.

Английский статистик К. Пирсон на основе разности между средней величиной и модой предложил расчет показателя асимметрии.

Следовательно, при (левосторонней) отрицательной асимметрии . При (правосторонней) положительной асимметрии .

Графически правосторонняя и левосторонняя асимметрия представлена на рисисунке 6.1.

Рис. 1. Графики асимметричности распределения.

Для расчета асимметрии можно использовать центральные моменты. Тогда:

,

где μ3 – центральный момент третьего порядка.

Показатель Пирсона зависит от степени асимметрии в средней части ряда распределения, а показатель асимметрии, основанный на моменте третьего порядка, от крайних значений признака.

эксцесс (Ек) характеризует крутизну графика функции в сравнении с с нормальным распределением при той же силе вариации:

,

где μ4 – центральный момент 4-ого порядка, определяемый по формуле:

Для построения кривой нормального распределения используются два параметра: средняя арифметическая и среднее квадратическое отклонение.

По показателям асимметрии и эксцесса распределения можно судить о близости распределения к нормальному. Распределение можно считать нормальным, если показатели асимметрии и эксцесса не превышают своих двукратных средних квадратических отклонений, рассчитанных по формулам:

Если отношение , ,то асимметрия является незначительной, распределение можно считать нормальным.

Пермь Питер Пятигорск