Теория

Средняя арифметическая величина. Основные свойства средней арифметической

Средняя величина — обобщающая характеристика однотипных явлений по одному из варьирующих признаков.

Определить среднюю можно через исходное соотношение средней или ее логическую формулу:

.

Для изучения и анализа социально-экономических явлений применяются различные средние величины: средняя арифметическая, средняя гармоническая, средняя геометрическая, средняя квадратическая, кубическая, а также структурные средние – мода, медиана, квартили, децили.

Средние могут рассчитываться в двух вариантах: взвешенные и невзвешенные.

При расчете взвешенных средних величин веса, могут быть представлены как абсолютными величинами, так и относительными (в % или долях единицы).

Средней арифметической величиной называется такое значение признака в расчете на единицу совокупности, при вычислении которого общий объем признака в совокупности сохраняется неизменным.

Исходя из определения, формула средней арифметической величины имеет вид:

. (1)

По данной формуле вычисляются средние величины первичных (объемных) признаков, если известны индивидуальные значения признака. Если изучаемая совокупность велика, исходная информация чаще представляет собой ряд распределения, или группировку, то расчет проводят по средней арифметической взвешенной

. (2)

В качестве весов здесь выступают численность единиц совокупности в группе.

Пример. Имеются данные о средней заработной плате сотрудников двух предприятий за январь.

Таблица 1

предприятия

Январь

Средняя заработная плата, руб.

Численность работников, человек

1

4900

450

2

5400

600

Вычислить среднюю заработную плату сотрудников по двум предприятиям.

Решение.

Определим исходные соотношения средней (ИСС) для показателя «средняя заработная плата».

ИСС = .

Фонд заработной платы можно получить умножением средней заработной платы на численность работников. Поэтому общая средняя может быть рассчитана по формуле средней арифметической взвешенной:

= руб.,

где xi — i –тый вариант осредняемого признака;

fi — вес i –ого варианта.

Если при группировке значения осредняемого признака заданы интервалами, то при расчете средней арифметической величины в качестве значения признака в группах принимают середины этих интервалов, т.е. исходят из гипотезы о равномерном распределении единиц совокупности по интервалу значений признака. Для открытых интервалов в первой и последней группе, если таковые есть, значения признака надо определить экспертным путем исходя из сущности, свойств знака и совокупности.

Таблица. 5.2

Группы рабочих по возрасту, лет

Число рабочих,

Середина интервала,

А

1

2

3

До 20

20—30

30-40

40-50

Старше 50

48

120

75

62

54

18,5

25

35

45

57,5

888

3000

2625

2790

3105

Итого

359

34,56

12408

Можно минимальный возраст рабочих считать 17 лет. В таком случае первый интервал будет от 17 до 20 лет, а максимальный возраст — 65 лет, тогда последний интервал — 50—65 лет.

Средний возраст рабочих, рассчитанный по формуле (2) с заменой точных значений признака в группах серединами интервалов, составил: лет.

Расчет средних вторичных (относительных) признаков. Сумма таких показателей сама по себе реальной величиной какого-либо признака в совокупности не является.

Пример. Рассчитать среднюю долю потребительских товаров в общем выпуске промышленной продукции по совокупности предприятий (табл. 5.3). В этом случае весом должен являться общий объем всей продукции предприятия.

Таблица 3

Объем и структура промышленной продукции

 

Номер предприятия

Объем всей продукции, млн руб.

Доля товаров, %,

Объем выпуска товаров млн. руб.,

1

2

3

4

138

650

1040

219

75

38

12

64

103,5

247,0

124,8

140,2

Итого

2047

100

615,5

Тогда средняя доля товаров в продукции четырех предприятий равна:

Свойства средней арифметической величины

1. Сумма отклонений индивидуальных значений признака от его среднего значения равна нулю.

2. Если каждое индивидуальное значение признака умножить или разделить на постоянное число, то и средняя увеличится или уменьшится во столько же раз.

3. Если к каждому индивидуальному значению признака прибавить или из каждого значения вычесть постоянное число, то средняя величина возрастет или уменьшится на это же число.

4. Если веса средней взвешенной умножить или разделить на постоянное число, средняя величина не изменится.

5. Сумма квадратов отклонений индивидуальных значений признака от средней арифметической меньше, чем от любого другого числа.

Пермь Питер Пятигорск