Теория

Средняя геометрическая, средняя гармоническая, средняя квадратическая.

Если при замене индивидуальных величин признака на среднюю величину необходимо сохранить неизменным произведение индивидуальных величин, то следует применить геометрическую среднюю величину. Ее формула такова

(4)

Основное применение геометрическая средняя находит при определении средних темпов роста.

Пример. В результате инфляции за первый год цена товара возросла в 2 раза к предыдущему году, а за второй год еще в 3 раза к уровню предыдущего года. Каков средний темп роста цены за 1 год?

Решение. Согласно формуле средней геометрической (4). Среднегодовой темп роста цен равен: раза.

Если по условиям задачи необходимо, чтобы при осреднении неизменной оставалась сумма величин, обратных индивидуальным значениям признака, то средняя величина является гармонической средней.

Формула простой средней гармонической величины такова:

(5)

Формула взвешанной средней гармонической величины

(6)

Пример. Рассчитать среднюю заработную платы по двум предприятиям, вместе: за февраль и за два месяца. Исходные данные представлены в таблице.

Таблица 4

предприятия

Январь

Февраль

Средняя заработная плата, руб.

Численность работников, человек

Средняя заработная плата, руб.

Фонд оплаты труда, тыс. чел.

1

4900

450

5700

2565

2

5400

600

5800

3596

Вычислить среднюю заработную плату сотрудников по двум предприятиям.

Решение.

Так исходное соотношение средней для показателя «средняя заработная плата»имеет вид

ИСС = .

За январь средняя заработная плата рассчитана в предшествующем примере, она равна = руб.,

За февраль мы имеем только данные о средней заработной плате и фонде оплаты труда. Численность работников по каждому предприятию можно получить делением фонда оплаты труда на среднюю заработную плату. Тогда расчет средней заработной платы в целом по двум предприятиям будет произведен по формуле средней гармонической взвешенной:

= 5757 руб.,

За два месяца расчет средней заработной платы по двум предприятиям произведен по формуле средней арифметической взвешанной

руб.,

Если при замене индивидуальных величин признака на среднюю величину необходимо сохранить неизменной сумму квадратов исходных величин, то средняя будет являться квадратической средней величиной.

Формула расчета простой квадратической средней величины:

(7)

Главной сферой применения квадратической средней величины является измерение вариации признака в совокупности.

Аналогично если по условиям задачи необходимо сохранить неизменной сумму кубов индивидуальных значений признака при их замене на среднюю величину, мы приходим к средней кубической, имеющей вид:

(8)

Все рассмотренные выше виды средних величин принадлежат к общему типу степенных средних.

Виды степенных средних

 

Вид степенной средней

Формула расчета

простая

взвешенная

Арифметическая

Гармоническая

Геометрическая

Квадратическая

Кубическая

 

Правило мажорантности средних определяет связь между средними величинами:

.

Пермь Питер Пятигорск