Теория

Дисперсия и среднеквадратичное отклонение

Математическое ожидание не дает полного представления о законе распределения случайной величины, о чем свидетельствует следующий пример.

Пример. Заданы две дискретные случайные величины законами распределения:

clip_image002

–2

0

2

и

clip_image004

–100

0

100

clip_image006

0,4

0,2

0,4

 

clip_image008

0,3

0,4

0,3

Для этих законов распределения получаются clip_image010и clip_image012:

clip_image014

clip_image016

Следовательно, рассматриваемые законы имеют одинаковые математические ожидания. Однако, возможные значения величин X и Y рассеяны около своих средних значений по-разному, т.к. возможные значения дискретной случайной величины Х расположены гораздо ближе к clip_image018, чем значения случайной величины Y относительно clip_image020. Таким образом, случайная величина Y более «рассеяна» относительно clip_image020[1]. Поэтому для идентификации разброса (или «рассеивания») случайных величин вводится очень важная числовая характеристика – дисперсия (dispersion – «рассеивание»).

Определение. Дисперсией (рассеиванием) случайной величины Х называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания.

Дисперсия обозначается clip_image023. Таким образом, по определению clip_image025.

Формулы для вычисления дисперсии по определению:

clip_image027 – для дискретной случайной величины, (3.12)

clip_image029 – для непрерывной случайной величины. (3.13)

Пример. Дана дискретная случайная величина X:

clip_image031

1

2

5

clip_image008[1]

0,3

0,5

0,2

Пользуясь определением дисперсии clip_image034, найти ее.

1) Найдем clip_image036.

2) Найдем все возможные значения квадрата отклонения Х от величины ее clip_image010[1]:

clip_image039;

clip_image041;

clip_image043.

Таким образом, получается такой закон распределения для квадрата отклонения Х от clip_image045.

clip_image047

1,69

0,09

7,29

clip_image049

0,3

0,5

0,2

3) Определение clip_image051по формуле (3.12)

clip_image053

Из примера видно, что приведенный способ вычисления является достаточно громоздким. Получим более простую формулу для вычисления clip_image034[1], пользуясь свойствами clip_image010[2].

clip_image057

clip_image059

clip_image061 (3.14)

Для непрерывной случайной величины аналогично получается такая расчетная формула:

clip_image063 (3.15)

Действительно:

clip_image065

clip_image067

clip_image069 для вышеприведенного примера с использованием формулы (3.14) вычисляется проще:

clip_image071

1

4

25

clip_image073

clip_image006[1]

0.3

0.5

0.2

clip_image076

Замечание. Дисперсия имеет размерность, равную квадрату размерности случайной величины, что представляет неудобство использования в практических оценках рассеивания . В силу этого преимущественно на практике применяется среднеквадратичное отклонение, которое определяется как корень квадратный из дисперсии.

(3.16)

Замечание. Дисперсия числа появления события А (вероятность события А равна p) в одном испытании равна .

Действительно, в предыдущем разделе получено, что для данного испытания Тогда для получим:

:

0

1

:

Этот результат будет использоваться в дальнейшем при рассмотрении распределений.

Пермь Питер Пятигорск