Теория

Формула полной вероятности

На практике часто необходимо определить вероятность интересующего события, которое может произойти с одним из событий, образующих полную группу. Следующая теорема, являющаяся следствием теорем сложения и умножения вероятности, приводит к выводу важной формулы для вычисления вероятности подобных событий. Эта формула называется формулой полной вероятности.

Пусть H1, H2, … , Hn есть n попарно несовместных событий, образующих полную группу:

1) все события попарно несовместны: HiHj = ; i, j = 1,2, … , n; i j;

2) их объединение образует пространство элементарных исходов W: clip_image002

Такие события иногда называют гипотезами. Пусть совершается событие А, которое может наступить только при условии наступления одного из событий Hi (i = 1, 2, … , n). Тогда справедлива теорема.

clip_image004 Рис. 1.19

Теорема. Формула полной вероятности. Вероятность события А, которое может насту-пить лишь при условии появления одного из n попарно несовместных событий H1, H2, … , Hn, образующих полную группу, равна сумме парных произведений вероятностей каждого из событий Hi (i = 1, 2, … , n) на условную вероятность события А / Hi , т.е.

clip_image006 (1.14)

Доказательство. Действительно, по условию событие А может наступить, если наступает одно из несовместных событий H1, H2Hn, т.е. появление события А означает осуществление одного из событий H1 А, H2 А, … , HnА. Последние события также несовместны, т.к. из Hi Hj = clip_image008 ( iclip_image010j ) следует, что и (АHi) ∙ (АHj) = clip_image008[1] ( iclip_image010[1]j ). Теперь заметим, что

clip_image012=clip_image014.

Это равенство хорошо иллюстрируется рис. 1.19. Из теоремы сложения следуетclip_image016. Но по теореме умножения справедливо равенст-воclip_image018 при любом i, 1in. Следовательно, фор-мула полной вероятности (1.14) справедлива. Теорема доказана.

Замечание. Вероятности событий (гипотез) H1, H2, … , Hn, которые входят в формулу (1.14) при решении конкретных задач или заданы или же они должны быть вычислены в процессе решения. В последнем случае правильность вычисления р(Hi) (i = 1, 2, … , n) проверяется по соотношению clip_image020 = 1 и расчёт р(Hi) выполняется на первом этапе решения задачи. На втором этапе рассчитывается р(А).

При решении задач на применении формулы полной вероятности удобно придерживаться следующей методики.

Методика применения формулы полной вероятности

а). Ввести в рассмотрение событие (обозначим его А), вероятность которого необходимо определить по условию задачи.

б). Ввести в рассмотрение события (гипотезы) H1, H2, … , Hn, которые образуют полную группу.

в). Выписать или вычислить вероятности гипотез р(H1), р(H2), … , р(Hn). Контроль правильности вычисления р(Hi) проверяется по условию clip_image022 В большем числе задач вероятности р(Hi) задаются непосредственно в условии задачи. Иногда эти вероятности, а также вероятности p(А/H1), p(А/H2), …, p(А/Hn) умножены на 100 (заданы числа в процентах). В этом случае заданные числа надо поделить на 100.

г). Вычислить искомую вероятность р(А) по формуле (1.14).

Пример. Экономист рассчитал, что вероятность роста стоимости акции его компании в следующем году составит 0,75, если экономика страны будет на подъёме, и 0,30, если будет финансовый кризис. По мнению экспертов, вероятность экономического подъёма равна 0,6. Оценить вероятность того, что акции компании в следующем году поднимутся в цене.

Решение. В начале условие задачи формализуется по вероятности. Пусть А – событие » акции поднимутся в цене» ( по вопросу задачи). По условию задачи выделяются гипотезы: H1 – «экономика будет на подъёме», H2 – «экономика вступит в полосу кризиса». H1, H2 – образуют полную группу, т.е. H1H2 = clip_image008[2], H1 + H2 = clip_image024. Вероятность p(H1) = 0,6, следовательно, p(H2) = 1 – 0,6 = 0,4. Условные вероятности p(А/H1) = 0,75, p(А/H2) = 0,3. Используя формулу (1.14), получим:

p(А) = p(H1) ∙ p(А/H1) + p(H2) ∙ p(А/H2) = 0,75 ∙ 0,6 + 0,3 ∙ 0,4 = 0,57.

Пермь Питер Пятигорск