Теория

Свойства функции распределения

1. Функция распределения есть функция не отрицательная, заключенная между 0 и 1, т.е. 0F(x) 1. Это свойство вытекает из определения F(x) как вероятности.

clip_image002 Рис. 3.6

2. Функция распределения есть неубываю-щая функция, т.е. F(x2) ≥ F(x1), если x2 > x1. Действительно, пусть x1 < x2. Тогда

P(X< x2) = P(X<x1) + P(x1x<x2).

Отсюда следует, что

clip_image004.

clip_image006.

3. Вероятность попадания случайной величины в полуинтервал [a,b) равна разности (приращению) функции распределения на этом полуин-тервале.

Р(a ≤ X< b) = F(b)F(a) (3.3)

Принимая в равенстве (3.2) значения х2 = b, х1 =а, имеем соотношение (3.3).

Следствие 1.

Р(x ≤ X < x +clip_image008x) = F(x+clip_image008[1]x) – F(x) . (3.4)

Следствие 2. Вероятность любого фиксированного значения непрерывной случайной величины равна нулю. Это следствие следует из соотношения (3.4) путем перехода в нем к пределу при clip_image008[2]x®0.

Подчеркнем, что данное следствие утверждает удивительный факт: событие возможно, но имеет нулевую вероятность.

4. Если возможные значения случайной величины Х принадлежат интервалу (а, b), то выполняются следующие два соотношения:

1) F(x) = 0 при х a; 2) F(x) = 1 при x > b.

Следствие 3. Если возможные значение непрерывной случайной величины принадлежат всей числовой оси, то

clip_image012,

clip_image014.

Замечания. (Краткая характеристика основных свойств интегральной функции распределения).

1. Интегральная функция распределения является неотрицательной неубывающей функций, удовлетворяющей условиям F(–∞) = 0, F(+∞) = 1, и связана с вероятностью соотношением

Р(aX < b) = F(a) – F(b).

2. Функция F(clip_image016) непрерывна слева, т. е. clip_image018 (При подходе к точке разрыва слева F(х) сохраняет значение.)

3. С помощью функция распределения F(х) можно вычислять вероятность события, противоположного событию Р(Х < х). Эта вероятность вычисляется по формуле

Р(Х ≥ х) = 1 – F(х).

Пример 10. Дана некоторая функция Ф(х):

clip_image020

Является ли эта функция функцией распределения? Если да, то найти clip_image022 и построить график clip_image024.

Решение. Для того, что бы ответить на вопрос о том, является ли clip_image026 функцией распределения, необходимо проверить, удовлетворяет ли заданная функция clip_image026[1] свойствам функции распределения clip_image026[2].

Свойство 1) удовлетворяется, clip_image026[3] возрастающая функция.

clip_image028, clip_image030, clip_image032, clip_image034.

Следовательно, clip_image026[4] есть функция распределения.

Свойство 2) также выполнено и наконец

clip_image036

Пример 11. По условию и решению задачи, изложенных в примере 9, найти вероятность следующих событий: а) 2 ≤ Х < 6, б) 1 ≤ Х ≤ 6, в) X < 3.

Решение. а) Р(2 ≤ Х < 6) = F(6) – F(2) = 0,97– 0,4 = 0,57;

б) Р(2≤Х≤6) = Р(2≤Х<6) + Р(6≤Х<6+0) = F(6) – F(2) +F(6+0) – F(6) =

= F(6+0) F(2) = 1 – 0,4 = 0,6; в) Р(Х < 3) = 0,64.

Пермь Питер Пятигорск