Теория

Интегральная функция распределения случайной величины и её свойства. Функция распределения дискретной случайно величины

Задание случайной величины её законом распределения не обладает общностью, так как его нельзя использовать, например, для непрерывных случайных величин. Кроме того, даже для дискретных случайных величин закон распределения не удовлетворяет практическим требованиям. Например, с точки зрения практики событие, состоящие в том, что некоторый прибор проработает, например, 1000 часов, не представляет интереса. Более важным является событие Х < 1000 или событие Х > 1000. Такое событие имеет вероятность, отличную от нуля, и при изменении Х вероятность события clip_image002 будет изменяться.

Следовательно, вероятность clip_image004 является функцией от х, которая и принимается в качестве интегральной функции распределения и которая является универсальной, пригодной для описания как непрерывных, так и дискретных случайных величин.

Определение 4. Интегральной функцией распределения вероятностей случайной величины Х называется функция F(х), соответствующая вероятности того, что в результате опыта случайная величина Х примет значение меньшее х – некоторого значения случайной величины.

Таким образом, по определению

F(x) = Р(X < х), т.е. clip_image006 (3.1)

На числовой оси Ох случайная величина х сщдержится в интервале (– ∞, х) (рисунок 3.4):

clip_image008Рис. 3.4

Пример 9. Пусть для случайной величины X задан ряд распределения:

Х

х =1

х = 2

х = 3

х = 4

х = 5

х = 6

P

pclip_image010= 0,4

pclip_image012= 0,24

pclip_image014=0,19

Pclip_image016=0,1

pclip_image018=0,04

pclip_image020= 0,03

Записать интегральную функцию распределения и построить ее график.

Решение. Fclip_image022(x) = P(X < xclip_image010[1]) = 0, х хclip_image010[2]=1; Fclip_image010[3] (x) = P(X < xclip_image012[1]) = P(X = xclip_image010[4])= = pclip_image010[5] = 0,4; 1 < х ≤ 2; F2 (x) = P(X < xclip_image014[1]) = P (X = xclip_image010[6]) + P (X = xclip_image012[2]) = 0,4 + 0,24 = = 0,64; 2 < х ≤ 3.

Событие Х < хclip_image033 может быть осуществлено, когда Х принимает значения х1 с вероятностью pclip_image010[7]= 0,4 или значение хclip_image012[3] с вероятностью pclip_image012[4]. В силу несовместности этих событии получается, что Р(Х < хclip_image014[2]) = pclip_image010[8] + pclip_image012[5]. Далее имеем

Fclip_image014[3](x) = P(X < xclip_image014[4]) = Р(X = xclip_image010[9]) + P(X = xclip_image012[6]) + P(X = xclip_image014[5]) = 0,4 + 0,24 + 0,19 = 0,83, 3< х ≤4;

Fclip_image016[1](x) = P(X < xclip_image016[2]) = 0,4 + 0,24+0,19 + 0,1 = 0,93, хclip_image016[3]< ххclip_image018[1], 4 < х ≤ 5;

Fclip_image018[2](x) = P(X < xclip_image018[3]) = 0,4+0,24+0,19+0,1+0,04 = 0,97, хclip_image018[4]< х хclip_image020[1], 5 < х ≤ 6;

Fclip_image020[2](x) = P(X>xclip_image020[3]) = 0,4 + 0,24 + 0,19 + 0,1 + 0,04 + 0,03 = 1, х > 6.

clip_image056

Рис. 3.5

Таким образом, функция F(х) здесь составная (ступенчатая) и она претерпевает разрыв 1-го рода в точках хk и скачки этой функций равны pk = = Р(Х = хk) (k = 1, 2, 3, 4, 5, 6) (рисунок 3.5). Заметим, что функция распределе-ния для непрерывной случайной величины имеет форму плавной кривой (рисунок 3.6).

Пермь Питер Пятигорск