Теория

Мода, медиана. Моменты случайных величин. Асимметрия, эксцесс. Квантили

Модой дискретной случайной величины clip_image002 называется значение этой величины, принимаемое с наибольшей вероятностью в сравнении с двумя соседними значениями. Мода обозначается через clip_image004. Для непрерывной случайной величины clip_image005 мода clip_image004[1] — точка максимума (локального) плотности clip_image007.

Если мода единственна, то распределение случайной величины clip_image002[1] называется унимодальным, в противном случае — полимодальным (рисунок 3.13).

clip_image009

Рис 3.13

Медианой clip_image011 непрерывной случайной величины clip_image002[2] называется такое ее значение clip_image013, для которого

clip_image015,

т. е. одинаково вероятно, окажется ли случайная величина clip_image016 меньше clip_image017 или больше clip_image017[1] (рис. 3.13).

С помощью функции распределения clip_image019 равенство для медианы можно записать в виде clip_image021. Отсюда clip_image023.

Для дискретной случайной величины clip_image002[3] медиана обычно не определяется.

Математическое ожидание и дисперсия являются частными случаями следующих более общих понятий – моментов случайной величины clip_image025.

Начальным моментом порядка clip_image027 случайной величины clip_image025[1]называется математическое ожидание clip_image027[1]степени этой величины, и обозначается через clip_image031. Таким образом, по определению clip_image033.

Для дискретной случайной величины clip_image002[4] начальный момент выражается суммой: clip_image035, а для непрерывной случайной величины clip_image002[5] – интегра-лом: clip_image037. В частности, clip_image039, т.е. начальный момент 1-го порядка есть математическое ожидание.

Центральным моментом порядка clip_image027[2] случайной величины clip_image002[6] называется математическое ожидание величины clip_image041 обозначается через clip_image043

Таким образом, по определению clip_image045clip_image047 В частности, clip_image049 т.е. центральный момент 2-го порядка есть дисперсия; clip_image051clip_image053 (по свойству 4 математического ожидания).

Для дискретной случайной величины clip_image025[2]имеем clip_image056clip_image058 а для непрерывной случайной величины clip_image002[7]: clip_image059clip_image061.

Центральные моменты могут быть выражены через начальные моменты. Например, clip_image063 Действительно:

clip_image065;

clip_image067 и т.д.

Среди моментов высших порядков особое значение имеют центральные моменты 3-го и 4-го порядков, называемых соответственно коэффициентами асимметрии и эксцесса.

Коэффициентом асимметрии скошенности») clip_image069 случайной величины clip_image016[1] называется величина

clip_image071.

Если clip_image073, то кривая распределения более полога справа от clip_image075 (рисунок 3.14).

clip_image077

Рис. 3.14

Если clip_image079, то кривая распределения более полога слева от clip_image075[1] (рисунок 3.15).

clip_image082

Рис. 3.15

Коэффициентом эксцесса островершинности») clip_image084 случайной величины clip_image002[8] называется величина

clip_image086.

Величина clip_image088 характеризует островершинность или плосковершинность распределения. Для нормального закона распределения clip_image090 и clip_image092; остальные распределения сравниваются с нормальным: если clip_image094 — более островершинные, а распределения «плосковершинные» имеют clip_image096 (рисунок 3.16).

clip_image098

Рис. 3.16

Кроме рассмотренных выше числовых характеристик случайной величины clip_image025[3] в приложениях используются так называемые квантили.

Квантилью уровня clip_image101 случайной величины clip_image025[4] называется решение уравнения

clip_image104,

где clip_image106 — некоторое число, clip_image108.

Квантили clip_image110, clip_image112 и clip_image114 имеют свои названия: нижняя квантиль, медиана (clip_image116), верхняя квантиль соответственно. Они делят числовую прямую на 4 части, вероятности попадания в которые равны 0,25 (рисунок 3.17).

clip_image118

Рис. 3.17

Пермь Питер Пятигорск