Несколько событий А1, А2 … Аn называются независимыми (зависимыми) в совокупности, если независимы (зависимы) любые два из них и независимы (зависимы) любое из данных событий и любые комбинации (произведения) остальных событий.
Например, три события А, В, С независимы (независимы в совокупности), если независимы события А и В, А и С, В и С, А и В × С, В и А× С, С и А× В.
Для независимых событий теорема умножения вероятностей для двух и нескольких событий принимает вид:
p(А ∙ В) = p(А) ∙ p(В),
p(А1 ∙ А2 ∙ А3 … Аn) = p(А1) ∙ p(А2) … p(Аn) (1.10)
Т.е. вероятность произведения двух или нескольких независимых событий равна произведению вероятностей этих событий.
Пример. Вероятность попадания в мишень для первого стрелка равна 0,8, для второго стрелка – 0.7 , для третьего – 0.9. Каждый из стрелков делает по одному выстрелу. Определить вероятность попадания в мишень всеми тремя стрелками.
Решение. Введём обозначения: Аi – попадание в мишень i – го стрелка (i = 1,2,3); В – в мишени 3 пробоины. Тогда В = А1 ∙ А2 ∙ А3 , где события А1, А2, А3 – независимы. По теореме умножения (1.10) для независимых событий получим:
р(В) = р(А1 ∙ А2 ∙ А3 ) = р(А1) ∙ р(А2) ∙ р(А3) = 0,8 ∙ 0,7 ∙ 0,9 = 0,504.
Замечание 1. Независимость событий в практических задачах определяется их физической независимостью. Последнее означает, что множество случайных факторов, приводящих к тому или иному исходу испытания, не пересекаются.
Замечание 2. Попарная независимость нескольких событий не означает их независимости в совокупности.