Теория

Операции над событиями

Определение 1. Говорят, что в некотором опыте событие А влечёт за собой появление события В, если при наступлении события А наступает и событие В. Обозначение этого определения А Ì В. В терминах элементарных событий это означает, что каждое элементарное событие, входящее в А, входит также и в В.

Определение 2. События А и В называются равными или эквивалентными (обозначается А = В), если А Ì В и В Ì А, т.е. А и В состоят из одних и тех же элементарных событий.

Достоверное событие представляется объемлющим множеством Ω, а невозможное событие – пустым подмножеством Æ в нём. Несовместность событий А и В означает, что соответствующие подмножества А и В не пересекаются: АВ = Æ.

Определение 3. Суммой двух событий А и В (обозначается С = А + В) называется событие С, состоящее в наступлении по крайней мере одного из событий А или В (союз «или» для суммы является ключевым словом), т.е. наступает или А, или В, или А и В вместе.

Пример. Пусть два стрелка стреляют в мишень одновременно, и событие А состоит в том, что в мишень попадает 1-й стрелок, а событие B — в том, что в мишень попадает 2-й стрелок. Событие A + Bclip_image002означает, что мишень поражена, или, иначе, что в мишень попал хотя бы один из стрелков (1-й стрелок или 2-й стрелок, или оба стрелка).

Аналогично, суммой конечного числа событий А1, А2, …, Аn (обозначается А = А1 + А2 + … + Аn) называется событие А, состоящее в наступлении хотя бы одного из событий Аi (i = 1, … , n), или произвольной совокупности Аi (i = 1, 2, … , n).

Пример. Суммой событий А, В, С является событие, состоящее в появлении одного из следующих событий: А, В, С, А и В, А и С, В и С, А и В и С, А или В, А или С, В или С, А или В или С.

Определение 4. Произведением двух событий А и В называется событие С (обозначается С = А ∙ В), состоящее в том, что в результате испытания произошли и событие А, и событие В одновременно. (Союз «и» для произведения событий является ключевым словом).

Аналогично произведением конечного числа событий А1, А2, …, Аn (обозначается А = А1 А2 ∙…∙ Аn) называется событие А, состоящее в том, что в результате испытания произошли все указанные события.

Пример. Если события А, В, С есть появление «герба» в первом, во втором и третьем испытании соответственно, то событие А × В × С есть выпадение «герба» во всех трех испытаниях.

Замечание 1. Для несовместных событий А и В справедливо равенство А ∙ В = Æ, где Æ – невозможное событие.

Замечание 2. События А1, А2, … , Аn образуют полную группу попарно несовместных событий, если clip_image004.

Определение 5. Противоположными событиями называются два единственно возможных несовместных события, образующие полную группу. Событие, противоположное событию А, обозначается clip_image006. Событие clip_image008 противоположное событию А, является дополнением к событию А до множества Ω.

Для противоположных событий одновременно удовлетворяются два условия А ∙clip_image006[1] = Æ и А +clip_image006[2] = Ω.

Определение 6. Разностью событий А и В (обозначается А В) называется событие, состоящее в том, что событие А наступит, а событие В – нет и оно равна А В = А×clip_image011.

Отметим, что события А + В, А ∙ В, clip_image006[3], А – В удобно трактовать в графическом виде с помощью диаграмм Эйлера – Венна (рис. 1.1).

clip_image013

Рис. 1.1. Операции над событиями: отрицание, сумма, произведение и разность

Сформулируем пример так: пусть опыт G заключается в проведении стрельбы наугад по области Ω, точ-ки которого являются элементар-ными событиями ω. Пусть попа-дание в область Ω есть достоверное событие Ω, а попадание в области А и В – соответственно события А и В. Тогда события clip_image006[4], А+В (или А È В – светлая область на рисунке), А ∙ В (или А Ç В – область в центре), А – В (или А \ В – светлые подобласти) будут соответствовать четырем изображениям на рис. 1.1. В условиях предыдущего примера со стрельбой двух стрелков по мишени произведением событий А и В будет событие С = А Ç В, состоящее в попадании в мишень обоими стрелками.

Замечание 3. Если операции над событиями представить как операции над множествами, а события представить как подмножества некоторого множества Ω, то сумме событий А+В соответствует объединение АÈВ этих подмножеств, а произведению событий А ∙ В — пересечение АВ этих подмножеств.

Таким образом, операции над событиями можно поставить в соответствие операцию над множествами. Это соответствие приведено в табл. 1.1

Таблица 1.1

Обозначения

Язык теории вероятностей

Язык теории множеств

Пространство элемент. событий

Универсальное множество

clip_image015

Элементарное событие

Элемент из универсального множества

А

Случайное событие

Подмножество элементов ω из Ω

Достоверное событие

Множество всех ω

Æ

Невозможное событие

Пустое множество

АÌ В

А влечёт В

А – подмножество В

А+В (А ÈВ)

Сумма событий А и В

Объединение множеств А и В

А× В (А Ç В)

Произведение событий А и В

Пересечение множеств А и В

А – В (А \ В)

Разность событий

Разность множеств

clip_image017

clip_image017[1] – событие, противоположное событию А, т.е. не А

Дополнение множества А до множества Ω clip_image020= Ω \ А

Действия над событиями обладают следующими свойствами:

• А + В = В + А, А ∙ В = В ∙ А (переместительное);

(А + В) ∙ С = А × С + В × С, А ∙ В + С = (А + С) × (В + С) (распределительное);

( А + В ) + С = А + (В + С), (А ∙ В) ∙ С = А ∙ (В ∙ С) (сочетательное);

• А + А = А, А ∙ А = А;

• А + Ω = Ω, А ∙ Ω = А;

• А + clip_image006[5] = Ω, Аclip_image006[6] = Æ;

clip_image022 = Ω, clip_image024 = Æ, clip_image026 = А;

• АВ = Аclip_image028;

clip_image030 и clip_image032 — законы де Моргана.

В справедливости этих свойств можно убедиться с помощью диаграмм Эйлера-Венна, а также на основе численного подхода, если сопоставить появлению некоторого события цифру «1», а непоявлению этого события – цифру «0». Тогда следующие операции над событиями: А + В, А ∙ В, clip_image006[7] – иллюстрируются табл. 1.2.

Таблица 1.2

А

В

А+В

А ∙ В

А

clip_image006[8]

1

1

1

1

1

0

1

0

1

0

0

1

0

1

1

0

 

0

0

0

0

 

Законы де Моргана доказываются путем составления табл. 1.3.

Таблица 1.3

А

В

clip_image006[9]

clip_image011[1]

А+В

clip_image035

clip_image037

clip_image039

АВ

clip_image041

1

1

0

0

1

0

0

0

1

0

1

0

0

1

0

0

0

1

0

1

0

1

1

0

1

0

0

1

0

1

0

0

1

1

0

1

1

1

0

1

Пермь Питер Пятигорск