Теория

Математическое ожидание случайной величины

Математическим ожиданием (или средним значением) дискретной случайной величины Х с законом распределения

clip_image002

clip_image004

clip_image006

clip_image008

clip_image010

clip_image012

clip_image014

clip_image016

где clip_image018, называется число, равное сумме парных произведений всех значений этой случайной величины на соответствующие вероятности.

Иначе, математическое ожидание – это среднее арифметическое значе-ние случайной величины Х, взвешенное по вероятностям её появления, т.е.

clip_image020.

Математическое ожидание (далее будет использоваться аббревиатура М.О.) обозначается здесь clip_image022(в литературе используются и другие обозначения, например: clip_image024 и др.). Таким образом, по определению

clip_image026 (3.8)

Если clip_image028clip_image004[1],clip_image006[1], … , clip_image008[1], … т.е случайных величин бесконечное (но счетное) число, то clip_image033, причем ряд в правой части предполагается абсолютно сходящимся (если ряд не сходится, то случайная величина Х М.О. не имеет).

Математическим ожиданием непрерывной случайной величины с плотностью вероятностей clip_image035 называется число, вычисляемое с помощью (в общем случае) несобственного интеграла:

clip_image037 (3.9)

Если clip_image039, то (3.9) переходит в обычный определенный интеграл

clip_image041 (3.10)

Для формулы (3.9) предполагается, что несобственный интеграл является сходящимся абсолютно, т.е. clip_image043. В противном случае непрерывная случайная величина, принадлежащая всей числовой оси

(clip_image045 ), М.О. не имеет.

Замечание 1. Можно показать, что математическое ожидание дискрет-ной случайной величины Х приближенно равно среднему арифметическому всех ее значений (при достаточно большом числе испытаний).

Действительно, пусть произведено clip_image047 – испытаний. Причем, случайная величина clip_image004[2] повторилась clip_image049 раз, случайная величина clip_image006[2] повторилась clip_image052 раз и т.д. случайная величина clip_image054clip_image056 раз. Тогда среднее арифметическое для данного закона распределения выражается по формуле:

clip_image058

Но из статистического определения вероятности следует, что

clip_image060

Математическое ожидание имеет также физический смысл для дискретно заданных элементов масс гибкого стержня:

clip_image062 т.к clip_image064.

Замечание 2. Математическое ожидание имеет размерность случайной величины.

Пермь Питер Пятигорск