Теория

Понятие случайной величины. Действия над случайными величинами. Закон распределения случайной величины

В главе 1 были рассмотрены случайные события и правила определения их вероятностей. Наряду со случайными событиями в теории вероятностей вводится в рассмотрение очень важное понятие случайной величины. Приведем примеры, поясняющие понятие случайной величины.

Пример 1. Число родившихся мальчиков среди пяти новорожденных есть случайная величина, которая может принять значения 0, 1, 2, 3, 4, 5.

Пример 2. Размер уклонения точки падения снаряда от цели определяется большим количеством разных факторов, имеющих случайный характер. Поэтом в теории стрельбы учитывается явление рассеивания снарядов около цел и рассматриваются указанные уклонения как случайные величины.

Пример 3. Скорость молекул газа не остается неизменной, а меняется в зависимости от столкновений с другими молекулами. Этих столкновений реализуется много даже в течение короткого промежутка времени. Эксперименты свидетельствует, что при известной скорости молекулы в данный момент нельзя с полной определенностью указать ее значение, например, через 0,01 или 0,001 секунды. Поэтому изменение скоростей молекул газов носит случайных характер.

Приведенные примеры показывают, что со случайными величинами приходится иметь дело в самых разнообразных областях науки и техники. В каждом из приведенных примеров мы имеем дело с величинами, характеризующими исследуемое явление. Каждая из этих величин случайным образом принимает различные значения, т.е. заранее сказать, какое значение примет величина, нельзя, так как она от испытания к испытанию меняется случайным образом.

Определение 1. Случайной величиной называется переменная, которая в результате испытания (опыта) в зависимости от случая принимает одно из совокупности возможных своих значений, причем заранее неизвестно, какое именно.

Иначе, случайная переменная величина представляет собой некоторую числовую функцию, которая определена на пространстве элементарных событий Ω. Эта функция ставит в соответствие каждому элементарному событию ω некоторое число. Поэтому более точно определение случайной величины формулируется следующим образом:

Определение 2. Случайной величиной Х называется функция, заданная на множестве элементарных исходов (или пространстве элементарных событий), т.е. Х = f(ω), где ω – элементарный исход (или элементарное событие, принадлежащее пространству Ω, т.е. ωÎ Ω).

Случайные величины будем обозначать прописными латинскими буквами Х, Y, Z,…, а их возможные значения – соответствующими строчными буквами x, y, z,… Если, например, случайная величина Х имеет несколько возможных значений, то они будут обозначены хclip_image002[4], хclip_image004[4], хclip_image006[4] и т.д.

Случайные величины бывают двух типов – дискретными и непрерывными. Дискретная величина принимает конечное или счетное множество значений, а непрерывная случайная величина представляет собой несчетное множество. Таким образом, дискретная случайная величина принимает отдельные изолированные друг от друга значения, а непрерывная случайная величина может принимать любое значение из некоторого промежутка.

Случайная величина из примера 1 дискретная, а случайные величины из примеров 2 и 3 непрерывны.

Случайные величины могут складываться, вычитаться и умножаться.

Суммой (разностью, произведением) случайных величин Х и Y называется случайная величина Z=X+Y (Z=XY, Z=X·Y), возможные значения которой состоят из сумм, (разности, произведений) каждого возможного значения Х и каждого возможного значения Y.

Пример 4. Найти сумму Х и Y, если Х принимает значения 1,2,3, а Y: 1,2,3,4.

Решение. Возможные значения суммы Z=X+Y будут следующие Z: 2,3,4,5,6,7.

Пример 5. Найти произведение Хclip_image008Y по значениям Х и Y, приведенным в примере 4.

Решение. Хclip_image008[1]Y: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12.

Наиболее полным описанием случайной величины является ее закон распределения.

Определение 3. Законом распределения случайной величины называется всякое соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины и соответствующими этим значениям вероятностями.

Для дискретной случайной величины закон распределения может быть задан в виде таблицы, в виде формулы и графически. Простейшим и наиболее распространенным способом задания закона распределения дискретной случайной величины Х является таблица (табл.3.1):

Таблица 3.1

Х

xi

х2

x3

xn

Р

pi

р2

p3

pn

Здесь clip_image010,clip_image012, … clip_image014, …,clip_image016 – все возможные значения случайной величины, расположенные в порядке возрастания, а clip_image018, clip_image020, … clip_image022, …, clip_image024 – соответ-ствующие вероятности. События Х = {clip_image010[1], clip_image012[1],…,clip_image026,…,clip_image016[1]}, состоящие в том, что в результате испытания случайная величина Х примет соответствующие значения clip_image010[2],clip_image012[2],…,clip_image014[1],…,clip_image016[2] являются несовместными и единственно возможными. Поэтому эти события составляют полную группу, что означает clip_image028. Для наглядности этот закон распределения изображает-ся графически в прямоугольной декартовой системе координат, где по оси Ох откладываются значения clip_image014[2], а по оси Оу – соответствующие им вероятности pclip_image031. Соединение полученных точек образует ломаную линию, которая называется многоугольником или полигоном распределения вероятностей (рисунок 3.1)

clip_image033 Рис. 3.1.

Пример 6. Вероятность того, что студент сдаст экзамен по двум профилирующим дисциплинам Аclip_image002[5] и Аclip_image004[5], соответственно равны значениям 0,8 и 0,9. Составить закон распределения числа экзаменов, которые сдаст студент.

Решение. Возможные значения случайной величины Х – числа сданных экзаменов: 0, 1, 2. Таким образом, Х: 0, 1, 2. Для составления ряда распределения необходимо вычислить вероятности событий, состоящих в том, что студент не сдаст оба экзамена, сдаст один экзамен и сдаст оба экзамена. Обозначим через clip_image037 − событие, состоящее в том, что студент сдаст i – й экзамен (i = 1, 2). Тогда получим:

clip_image039

Х

0

1

2

P

0,02

0,26

0,72

clip_image041 Рис.3.2

На рис.3.2 полученный ряд распределения представлен графически в виде многоугольника. Проверка правильности вычисления вероятностей

clip_image043clip_image045

Пример 7. Дискретная случайная величина X имеет закон распределения:

X

0,2

0,4

0,6

0,8

1

Р

clip_image047

clip_image049

clip_image051

clip_image053

clip_image055

Чему равна вероятность р4=Р(X=0,8)? Построить многоугольник распределения.

Решение. Поскольку должно выполняться равенство p1 + p2+ p3 + p4 + + p5 = 1, то p4= 1 – (p1 + p2+ p3 + p5) = 1 – (0,1 + 0,2 + 0,4 + 0,1) = 1 – 0,8 = = 0,2; p4=0,2.

clip_image057Рис. 3.3

В прямоугольной системе координат строим точки М1(0,2; 0,1), М2(0,4; 0,2), М3(0,6; 0,4), М4(0,8; 0,2), М5(1; 0,1); соединяем эти точки отрезками прямых (рис.3.3). Ломаная линия М1М2МгМ4М5 является многоугольником распреде-ления данной случайной величины.

Рассмотрим теперь операции над рядами распределения дискретных случайных величин. Две случайные величины называются независимыми, если закон распределения одной из них не меняется от того, какие возможные значение приняла другая величина.

Суммой (разностью, произведением) рядов распределений дискретной случайной величины Х, принимающей значения xi с вероятностями pi = Р(X = xi), i = 1, 2,…, n и дискретной случайной величины Y, прини-мающей значение уj с вероятностями pj = Р(Y = уj), j = 1, 2,… m, называется ряд распределения дискретной случайной величины Z = X + Y (Z = X Y, Z = X · Y), принимающей значения clip_image059 (clip_image061; clip_image063) с вероятностями clip_image065 для всех указанных значений i и j. Если некоторые суммы clip_image067 (разности clip_image069, произведения clip_image071) совпадают, то соответствующие вероятности складываются.

Произведением ряда распределения дискретной случайной величины Х на константу С называется ряд c дискретной случайной величиной С ∙ Х принимающей значения С ∙ clip_image073 с вероятностями clip_image022[1] = P(Х = хclip_image076).

Замечание. Если случайные величины Х и Y независимы и их вероятности pi=Pi(X=xi) и qj=Рj(Y=уj), то Рij = ((X=xi)·(Y=yj)) = = P(X=xiР(Y=yj) = = pi qj.

Пример 8. Пусть случайные величины Х и Y независимы и заданы законами распределения:

X

0

1

2

3

 

Y

–1

0

1

P

0,2

0,4

0,3

0,1

 

P

0,4

0,2

0,4

Найти закон распределения случайной величины Z = XY .

Решение. Все возможные значения разности случайных величин Х – Y составляют множество чисел {–1, 0, 1, 2, 3, 4}. Определим их вероятности.

P(Z = ‒1) = P((X = 0)·(Y = 1)) = P13 = p1 p3=0,2∙0,4 = 0,08;

P(Z = 0) = P((X = 0)·(Y = 0)) + P((X = 1)·(Y = 1)) = p12+p23 = 0,2·0,2 + + 0,4·0,4 = 0,2;

P(Z = 1) = pclip_image078 + pclip_image080 + pclip_image082=0,2∙0,4 + 0,4∙0,2 + 0,3∙0,4 = 0,28;

P(Z = 2) = pclip_image084 + pclip_image086 + pclip_image088= 0,4·0,4 + 0,3∙0,2 + 0,1∙0,4 = 0,26;

P(Z = 3) = pclip_image090 + pclip_image088[1]= 0,3∙0,4 + 0,1∙0,2 = 0,14;

P(Z = 4) = pclip_image093= 0,1∙0,4 = 0,04.

Закон распределения случайной величины Z=XY получается в виде таблицы:

Z

–1

0

1

2

3

4

P

0,08

0,2

0,28

0,26

0,14

0,04

Контроль правильности вычисления даёт: clip_image095

Замечание. При расчете вероятностей нижние индексы соответствуют порядковым номерам случайных величин.

Пермь Питер Пятигорск