Теория

Предельные теоремы теории вероятностей.

Предельные теоремы теории вероятностей устанавливают связь между теоретическими и экспериментальными характеристиками случайных величин при большом числе испытаний.

Рассматриваются две группы предельных теорем:

– закон больших чисел (устанавливает устойчивость массовых случайных явлений)

– центральная предельная теорема (устанавливает условия, при которых закон распределения суммы большого числа случайных величин неограниченно приближается к нормальному.

Неравенство Чебышева. Если случайная величина Х имеет М(Х) = а и дисперсию D(X), то для «e > 0 справедлива оценка

clip_image002clip_image004,

clip_image006 ЧЕБЫШЕВ Пафнутий Львович (1821-1894)

устанавливающая верхнюю границу вероятности события. В случае противоположного события имеем соответственно оценку:

clip_image008

Доказательство. Действительно, имеем

clip_image010

так как

½x a½≥e Þ (x-a)2 ≥ e2 Þ (x ‒ a)2 / e2≥ 1.

Тогда получим

clip_image012

т.е. clip_image004[1] или clip_image015 – нижняя граница события.

Частный случай неравенства Чебышева (неравенство Маркова)

Для любой неотрицательной случайной величины, имеющей математическое ожидание M(Х) и e > 0, справедливо неравенство

clip_image017

устанавливающее верхнюю границу оценки события clip_image019

Доказательство. Действительно

clip_image021 или clip_image023– нижняя оценка.

Примеры

1. Среднее число дождливых дней в году в данном районе равно 80. Оценить вероятность того, что в этом районе будет не более 100 дождливых дней в году.

Пусть X – случайная величина число дождливых дней в году и M(Х) = 80. По неравенству Маркова

clip_image025

2. Средний вес клубня картофеля равен 120 г. Какова вероятность того, что наугад взятый клубень картофеля весит не более 300 г. Пусть X – случайная величина – вес клубня и M(Х) = 120, Х > 0. По неравенству Маркова имеем

clip_image027

3. Случайная величина X имеет закон распределения:

X

2

3

4

4,5

5

6

p

0,1

0,4

0,3

0,05

0,05

0,1

Оценить вероятность того, что Х примет значение Х > 4.

По неравенству Маркова с учетом Х > 0 имеем

M(Х) = 0,2+1,2+1,2+0,225+0,25+0,6 = 3,675 Þ clip_image029– верхняя оценка.

4. Cлучайная величина Х имеет D(X) = 0,01. Оценить вероятность того, что случайная величина Х отличается от М(X) = а не более, чем на 0,25. Относительно знака X нет информации. Поэтому воспользуемся неравенством Чебышева

clip_image031

Пермь Питер Пятигорск