Теория

Статистическое определение вероятности

Случайность наступления событий связана с невозможностью предсказать заранее исход того или иного испытания. Однако, если рассматривать, например, испытание: многократное бросание монеты, ω1, ω2, … , ωn, то получается, что приблизительно в половине исходов (n / 2) обнаруживается определённая закономерность, которая соответствует понятию вероятности.

Под вероятностью события А понимается некоторая числовая характеристика возможности наступления события А. Обозначим эту числовую характеристику р(А). Существуют несколько подходов к определению вероятности. Основными из них являются статистический , классический и геометрический.

Пусть произведено n испытаний и при этом некоторое событие А наступило nA раз. Число nA называется абсолютной частотой (или просто частотой) события А, а отношение clip_image002 называется относительной частотой наступления события А. Относительная частота любого события clip_image004 характеризуется следующими свойствами:

1. 0 ≤ clip_image004[1] ≤ 1 (относительная частота любого события изменяется от нуля до единицы, так как 0 ≤ nA n).

2. clip_image007= 0 (относительная частота невозможного события равна 0, так как nA= 0).

3. clip_image009= 1 (относительная частота достоверного события равна 1, так как nA = n).

4. clip_image011(А + В) = clip_image011[1](А) +clip_image011[2](В). Так как nA+B = nA + nB, тогда

clip_image011[3](А + В) = nA+B /n = (nA + nB) / n =clip_image011[4](А) + clip_image011[5](В).

Основанием для применения методов теории вероятностей к изучению реальных процессов является объективное существование случайных событий, обладающих свойством устойчивости частот. Многочисленные испытания изучаемого события А показывают, что при больших n относительная частота clip_image011[6](А) остаётся примерно постоянной.

Статистическое определение вероятности заключается в том, что за вероятность события А принимается постоянная величина р(А), вокруг которой колеблются значения относительных частот clip_image019(А) при неограниченном возрастании числа испытаний n.

Замечание 1. Отметим, что пределы изменения вероятности случайного события от нуля до единицы выбраны Б. Паскалем для удобства ее вычисления и применения. В переписке с П. Ферма Паскаль указывал, что в качестве указанного промежутка можно было выбрать любой промежуток, например от нуля до ста и другие промежутки. В приведенных ниже задачах в данном пособии вероятности иногда указываются в процентах, т.е. от нуля до ста. В этом случае приведенные в задачах проценты необходимо переводить в доли, т.е. делить на 100.

Пример 1. Проведено 10 серий бросаний монеты, по 1000 бросаний в каждой. Величинаclip_image021(А) в каждой из серий равна 0,501; 0,485; 0,509; 0,536; 0,485; 0,488; 0,500; 0,497; 0,494; 0,484. Эти частоты группируются около р(А) = 0,5.

Этот пример подтверждает, что относительная частота clip_image021[1](А) примерно равна р(А), т.е. clip_image019[1](А) ≈ р(А). Из этого определения следует, что величина р(А) представляет собой среднее значение числа появления события А m = nA при n испытаниях.

Замечание 2. Испытания для статистического определения вероятности не обязательно являются равновозможными.

Замечание 3. Теория вероятностей изучает только такие случайные процессы со случайным исходом, в которых реализуется устойчивость относительной частоты события. Теорема Бернулли, излагаемая ниже (в конце 3-й главы), даёт обоснование близости clip_image019[2](А) и вероятности р(А).

Замечание 4. Свойства статистической вероятности р(А) полностью соответствуют вышеизложенным свойствам относительной частоты clip_image019[3](А) (в записи этих свойств вместо clip_image019[4](А) следует указать р(А)).

Пермь Питер Пятигорск