Теория

Теорема вероятности суммы совместных событий.

Теорема. Вероятность суммы двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их произведения, т.е.

р(А+В) = р(А) + р(В) – р(А∙В) . (1.11)

Доказательство. Действительно, представим событие А + В , состоящее в наступлении хотя бы одного из двух событий А и В, в виде суммы трёх несовместных событий:

А+В = А∙clip_image002+clip_image004∙В+А∙В.

Тогда по теореме сложения: р(А+В) = р(Аclip_image002[1]) + р(clip_image004[1]В) + р(А∙В).

Учитывая, что А = А∙clip_image002[2]+А∙В, р(А) = р(А∙clip_image002[3]) + р(А∙В), получим р(А∙clip_image002[4]) = р(А) – – р(А∙В). Аналогично, В = clip_image004[2]∙ В + А∙В, р(clip_image004[3]В) = р(В) – р(А∙В). Подставляя выражения для р(А∙clip_image002[5]) и р(clip_image004[4]В) в выражение для р(А + В), получим:

p(А + В) = p(А) – p(А∙В) + p(В) – p(А∙В) + p(А∙В) = p(А) + p(В) – p(А∙В). Чт.и.д.

Расчленение суммы двух зависимых событий поясняется на рисунке ниже.

clip_image015 clip_image017 clip_image019 clip_image021

А+В = А∙clip_image002[6] + clip_image004[5]∙ В + А∙В.

Замечание. Для суммы трёх и более совместных событий формула вероятности суммы р(А1 + А2 + … + Аn ) является очень громоздкой, поэтому при расчёте вероятности такой совокупности переходят к противоположному событию clip_image025:

clip_image025[1] = clip_image028 = clip_image030clip_image032 ∙ … ∙ clip_image034

Тогда

р(А1 + А2 + … + Аn) = 1– р(clip_image025[2]) или р(А1 + А2 + … + Аn) = 1– р(А1А2А3Аn ),

т.е. вероятность суммы нескольких совместных событий А1, А2, … , Аn равна разности между единицей и вероятностью произведения противоположных событий clip_image030[1], clip_image032[1], … , clip_image034[1]. Если события А1, А2, … , Аn – независимые, то

р(А1 + А2 + … + Аn) = 1 – р(clip_image030[2] ) ∙ р(clip_image032[2])∙ … ∙ р(clip_image034[2]). ( 1.12 )

В частном случае, когда вероятности независимых событий одинаковы, то вместо формулы (1.12) имеет место формула

р(А1 +А2 +… +Аn) = 1 – ( 1 – р )n . (1.13)

Пермь Питер Пятигорск