Теория

Свойства дисперсии

1. Дисперсия постоянной величины равна нулю, т.е. clip_image002.

Действительно, clip_image004, т.к. clip_image006 свойству 1 математического ожидания.

2. Постоянный множитель, входящий под знак дисперсии, можно выносить за знак дисперсии, возводя его в квадрат, т.е. clip_image008.

Действительно,

clip_image010 3. Дисперсия суммы двух (и более) независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин т.е. clip_image012.

Действительно, по определению дисперсии clip_image014, но clip_image016. Подставляя правую часть последнего соотношения в предыдущую формулу и используя свойство 3 математического ожидания, получим

clip_image018

Здесь clip_image020clip_image022 есть корреляционный момент, который для независимых случайных величин равен нулю. В силу этого для независимых случайных величин получим clip_image012[1].

4. Дисперсия разности двух независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих случайных величин.

clip_image025 5. Дисперсия случайной величины не изменится, если эта случайная величина складывается с постоянной, т.е. clip_image027

clip_image029 clip_image031

6. Если случайные величины clip_image033 и clip_image035 независимы, то

clip_image037 (без доказательства).

Свойства дисперсии, приведенные выше для дискретных случайных величин, справедливы и для непрерывных случайных величин.

Замечание 1. Из свойств дисперсии следуют соответствующие свойства среднеквадратичного отклонения, т.е.

clip_image039; clip_image041; clip_image043.

Замечание 2. Иногда для изучения свойств случайных процессов случайную величину clip_image033[1] приводят к стандартному виду, осуществляя её центрирование и нормирование. При этом начало координат переносится в точку с абсциссой clip_image046 (центрируют в эту точку), а нормирование центрированной случайной величины осуществляют путем её деления на clip_image048, т.е. в качестве clip_image050 принимают отношение clip_image052.

Для стандартной случайной величины получим:

clip_image054

clip_image056.

Пермь Питер Пятигорск