Теория

Свойства математического ожидания

Здесь рассматриваются наиболее важные свойства математического ожидания для дискретных случайных величин.

1). Математическое ожидание для закона распределения с постоянной случайной величиной равно этой постоянной величине, т.е.

clip_image002

Действительно, clip_image004. Таким образом, эта случайная величина принимает лишь одно значение с вероятностью clip_image006.

2).Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания, т.е. clip_image008

Действительно,

clip_image010

3). Математическое ожидание суммы двух или более случайных величин равно сумме математических ожиданий этих случайных величин, т.е.

clip_image012.

Докажем это свойство на примере двух дискретных случайных величин с рядами распределения:

clip_image014

clip_image016

clip_image018

 

clip_image020

clip_image022

clip_image024

clip_image026

clip_image028

clip_image030

 

clip_image032

clip_image034

clip_image036

(3.11)

Составим все возможные значения величин X + Y:

clip_image038

clip_image040

clip_image042

clip_image044

clip_image046

clip_image026[1]

clip_image049

clip_image051

clip_image053

clip_image055

Тогда имеем

clip_image057

Но событие, состоящее в том, что Х примет значение clip_image016[1] (его вероятность равна clip_image059) влечет за собой событие, состоящее в том, что X+Y примет значение clip_image061 или clip_image063(его вероятность равна clip_image065) и обратно. Отсюда следует, что clip_image067 Аналогично, доказывается, что clip_image069, clip_image071, clip_image073. Тогда:

clip_image075.

Доказанное соотношение справедливо для произвольного числа слагаемых, а также для разности, т.е. clip_image077.

4). Математическое ожидание произведения конечного числа независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий

clip_image079

Докажем это свойство также на примере двух простейших случайных величин с рядами (3.11). Для этого составим все возможные значения величин clip_image081

clip_image083

clip_image085

clip_image087

clip_image089

clip_image091

P

clip_image093

clip_image095

clip_image097

clip_image099

Тогда получим

clip_image101 clip_image103

5) Математическое ожидание отклонения случайной величины от ее математического ожидания равно нулю. Действительно, будем иметь:

clip_image105.

Замечание. Все свойства математического ожидания, доказанные для дискретных случайных величин, справедливы и для непрерывных случайных величин.

Имеет место следующее важное утверждение:

Математическое ожидание числа появления события А в одном испытании равно вероятности этого события.

Действительно, пусть вероятность события А равна p. Из условия задачи имеем ряд распределения:

clip_image107

clip_image109 (событие А наступило)

clip_image111 (событие А не наступило)

clip_image113

clip_image115

clip_image117

Тогда clip_image119 т.е. clip_image121.

Пример. Приведем пример на применение рассмотренного утверждения. Пусть производится три выстрела с вероятностью попадания для 1-го выстрела clip_image123; для 2-го выстрела clip_image125; для 3-го выстрела clip_image127 Найти clip_image129 общего числа попаданий.

Решение. В соответствии с приведенным выше утверждением:

clip_image131

Тогда: clip_image133
Пермь Питер Пятигорск