1. Плотность неотрицательная функция, т.е. . Действительно, – не убывает, поэтому . График (кри-вая распределения) располагается выше оси абсцисс, а плотность может принимать любые, в том числе и очень большие значения.
2. Вероятность попадания непрерывной случайной величины в интервал равна определенному интегралу от , взятому в пределах от до , т.е.
Это свойство следует из того, что есть первообразная для функции . Следовательно, по формуле Ньютона – Лейбница получим:
Отсюда, в силу свойства 3 функции распределения, получаем
Геометрически эта вероятность равна площади фигуры, ограни-ченной сверху кривой , а снизу отрезком оси (рисунок 3.9а).
Рис.3.9
3. Связь между интегральной функцией распределения и плот-ностью распределения выражается формулой
Это свойство следует из свойства 2 (в формуле (3.7) вместо , а вместо (см. рисунок 3.9б). Таким образом, если известна функция , то определяется путем вычисления интеграла с переменным верхним пределом.
4. Условие нормировки плотности распределения состоит в том, что площадь под графиком функции и осью равна единице, т.е.
Здесь для последней формулы принимаются , и в этом случае получается достоверное событие при.
Замечание о размерности функций F(x) и f(x). Функция распределе-ния , как всякая вероятность, есть безразмерная величина, а размерность обратна размерности случайной величины , т.к.
Приведем примеры непрерывных и разрывных случайных величин, нумеруя их с единицы.
Пример 1. Случайная величина с функцией (см. рисунок 3.10)
Рис. 3.10.
является непрерывной, т.к. Следовательно, для данной функции в силу достаточного условия существует .
Пример 2. Случайная величина с функцией распределения (см. рис 3.11):
Рис. 3.11
не является непрерывной, т.к. x = –1 является точкой разрыва I рода.
Таким образом, в соответствии с достаточным условием существования для данной функция не существует.
Пример 3. Случайная величина X задана функцией распределения
Убедиться, что имеет плотность и записать эту функцию. Покажем, что функция непрерывна. Действительно
Функция непрерывна везде, кроме точек . Следовательно, функция существует и она имеет вид:
В точках , , значение можно задать произвольно.