Теория

Свойства плотности распределения вероятностей

1. Плотность clip_image004 неотрицательная функция, т.е. clip_image006. Действительно, clip_image010 – не убывает, поэтому clip_image012. График clip_image004[1] (кри-вая распределения) располагается выше оси абсцисс, а плотность clip_image004[2] может принимать любые, в том числе и очень большие значения.

2. Вероятность попадания непрерывной случайной величины clip_image016 в интервал clip_image018 равна определенному интегралу от clip_image004[3], взятому в пределах от clip_image022 до clip_image024, т.е.

clip_image026

Это свойство следует из того, что clip_image010[1] есть первообразная для функции clip_image004[4]. Следовательно, по формуле Ньютона – Лейбница получим:

clip_image030

Отсюда, в силу свойства 3 функции распределения, получаем

clip_image032 или clip_image034 или

clip_image036 или clip_image038 (3.7)

Геометрически эта вероятность равна площади clip_image040 фигуры, ограни-ченной сверху кривой clip_image004[5], а снизу отрезком оси clip_image018[1] (рисунок 3.9а).

clip_image044clip_image045

Рис.3.9

3. Связь между интегральной функцией распределения clip_image047 и плот-ностью распределения clip_image004[6] выражается формулой

clip_image049

Это свойство следует из свойства 2 (в формуле (3.7) вместо clip_image051, а вместо clip_image053 (см. рисунок 3.9б). Таким образом, если известна функция clip_image004[7], то clip_image010[2] определяется путем вычисления интеграла с переменным верхним пределом.

4. Условие нормировки плотности распределения clip_image004[8] состоит в том, что площадь под графиком функции clip_image004[9] и осью clip_image057 равна единице, т.е.

clip_image061.

Здесь для последней формулы принимаются clip_image063,clip_image065 и в этом случае получается достоверное событие приclip_image069.

Замечание о размерности функций F(x) и f(x). Функция распределе-ния clip_image010[3], как всякая вероятность, есть безразмерная величина, а размерность clip_image004[10] обратна размерности случайной величины clip_image073, т.к.

clip_image075.

Приведем примеры непрерывных и разрывных случайных величин, нумеруя их с единицы.

Пример 1. Случайная величина clip_image078 с функцией (см. рисунок 3.10)

clip_image080

clip_image081clip_image082

Рис. 3.10.

является непрерывной, т.к. clip_image084Следовательно, для данной функции clip_image085 в силу достаточного условия существует clip_image004[11].

Пример 2. Случайная величина clip_image086 с функцией распределения (см. рис 3.11):

clip_image088

clip_image089clip_image090

Рис. 3.11

не является непрерывной, т.к. x = –1 является точкой разрыва I рода.

clip_image092

Таким образом, в соответствии с достаточным условием существования clip_image004[12] для данной clip_image010[4] функция clip_image004[13] не существует.

Пример 3. Случайная величина X задана функцией распределения

clip_image096

Убедиться, что clip_image073[1] имеет плотность clip_image004[14] и записать эту функцию. Покажем, что функция clip_image010[5] непрерывна. Действительно

clip_image100; clip_image102 (в т. clip_image104 clip_image010[6] – непрерывна);

clip_image107 (в т. clip_image109 clip_image111 – непрерывна);

clip_image113 (в т. clip_image115 clip_image111[1] – непрерывна).

Функция clip_image118 непрерывна везде, кроме точек clip_image120. Следовательно, функция clip_image004[15] существует и она имеет вид:

clip_image122

В точках clip_image124, clip_image126, clip_image128 значение clip_image004[16] можно задать произвольно.

Пермь Питер Пятигорск