Теория

Схема решения задачи вычисления вероятности сложного события: достижения k успехов при осуществлении n испытаний

1. Проанализировать условие поставленной задачи и на основе этого анализа установить, что в задаче реализуется схема Бернулли, т.е. :

— события, соответствующие опытам α1, α2, … , αn, о которых указано в задаче, независимы;

— опыты проводятся при неизменном комплексе условий их осуществлений;

— в простейшем случае вероятности наступления события А в n опытах p = const.

2. В соответствии с формулировкой задачи выбрать или определить требуемую вероятность р наступления событий и получить q = 1 – p (иногда в задаче заданы вероятности неудач или заданы вероятности удач, а требуется найти вероятность осуществления k неудач).

3. Найти искомую величину Pn(k) по формуле Бернулли (2.1).

Пример 1. Вероятность изготовления стандартной детали на автоматическом станке равна 0,9. Найти вероятности всех возможных случаев появления бракованной детали среди 4-х отобранных.

Решение. 1. Опытам α1, α2, … , αn в данной задаче соответствует партия деталей, изготовленная на некотором станке. Из партии деталей отбирается 4 детали, подвергающиеся контролю. Из условий задачи следует, что детали изготовлены на одном станке, и потому обеспечивается независимость событий – изготовление деталей. (Вероятность обеспечения стандартности одинакова и равна 0,9). Следовательно, имеет место схема Бернулли относительно анализируемых деталей.

2. В соответствии с формулировкой задачи требуется определить вероятно-сти определения бракованных деталей, в силу чего применительно к формуле (2.1) надо принять р = 0,1; q = 0,9.

3. Все возможные случаи появления бракованной детали соответствуют пространству событий W:

W = {0,0,0,0; 1,0,0,0; 0,1,0,0; 0,0,1,0; 0,0,0,1; 1,1,0,0; 1,0,1,0; 1,0,0,1; 0,1,1,0; 0,1,0,1; 0,0,1,1; 1,1,1,0; 1,0,1,1; 1,1,0,1; 0,1,1,1; 1,1,1,1}

(всего 24 – элементарных событий). Искомые вероятности P4(0), P4(1), P4(2), P4(3), P4(4) находим по формуле Бернулли (2.1)

P4(0) = C40 × 0,10 × 0,94 = 0,6561; P4(1) = C41 × 0,1 × 0,93 = 0,2916;

P4(2) = C42 × 0,12 × 0,92 = 0,0486; P4(3) = C43 × 0,13× 0,9 = 0,0036;

P4(4) = C44 × 0,14 × 0,90 = 0,0001.

Если изобразить полученные вероятности на плоскости с координатами (k, Pn(k)), k = 0, 1, 2, 3, 4 и соединить эти точки отрезками прямых, то полу-чается полигон распределения вероятностей (рис. 2.4).

clip_image002

Рис. 2.4

Из графика видно, что в многоугольнике распределе-ния вероятностей есть точка k = 0, в которой реализует-ся наибольшая вероятность P4(0). (В общем случае эта наибольшая вероятность может реализоваться при других значениях k в диапазоне 0 ≤ k n).

Замечание 7. Вероятности Pn(k), k = 0, 1, … , n в формуле (2.1) являют-ся коэффициентами при хk в разложении (q + pх)n по формуле Ньютона:

(q + px)n = qn + Сn1 qn-1 p1x1 + Сnx qn-2 p2x2 + … + Сnk qn-1 pk xk + … + pn xn.

В связи с этим совокупность вероятностей Pn(k) называется биномиальным законом распределения вероятностей, а функцию clip_image004— производя-щей функцией для последовательности независимых испытаний.

Пермь Питер Пятигорск