Теория

Теорема гипотез. Формула Бейеса

Теорема гипотез, приводящая к получению формул Бейеса (английский математик (1702 – 1761)), является следствием теоремы о полной вероятности. Формула Бейеса позволяет переоценить вероятности гипотез Hi, принятых до испытания, по результатам проведённого испытания, в итоге которого появилось событие А.

clip_image002Томас Бейес (1702 – 1761)

Теорема гипотез. Пусть в условиях формулировки теоремы о полной вероятности осуществлено испытание Hk (k = 1, 2,…, n), в результате которого произошло событие А. Необходимо определить, как изменилась (в связи с тем, что событие А произошло) вероятность гипотезы р(Hk), k = 1, 2, … , n. Формула Бейеса имеет вид:

р(Hk / А) = clip_image004, (1.15)

где clip_image006

Доказательство. По теореме умножения вероятностей справедливы равенства

p(HkA) = p(AHk) = p(A/Hk) p(Hk) = p(Hk/А) p(А).

Отсюда из двух последних равенств имеем:

clip_image008

Подставляя вместо p(А) её выражение в виде суммы по формуле полной вероятности, получаем:

clip_image010

Теорема доказана.

Методика решения задач на применение формулы Бейеса

а). Ввести в рассмотрение событие А, которое уже произошло по условию задачи.

б). Ввести в рассмотрение гипотезы Н1, …, Нn (если они не заданы в условии задачи), которые образуют полную группу. Предполагаем, что Н1, Н2,…, Нn вводятся до появления события А.

в). Вычислить (или выписать) вероятности гипотез р(Н1), р(Н2),…, р(Нn) и условные вероятности p(А/H1), p(А/H2), …. , p(А/Hn), предполагая, что эти вычисления проводятся до появления события А, либо сразу вычисляется вероятность р(А).

г). Выяснить, какую вероятность p(Hk/А) необходимо вычислить и по формуле (1.15) получить искомую вероятность p(Hk/А).

Пример. В первой урне 2 белых и 6 чёрных шаров, во второй – 4 белых и 2 чёрных. Из первой урны наудачу переложили 2 шара во вторую, после чего из второй урны наудачу извлекли один шар. а). Какова вероятность, что этот шар белый? б). Шар, взятый из второй урны, оказался белым. Какова вероятность того, что из первой урны во вторую были переложены 2 белых шара?

Решение. а). Пусть событие А – из второй урны извлекли белый шар. Составляется совокупность гипотез.

H1 – из первой урны во вторую переложили 2 белых шара;

H2 – из первой во вторую переложили два разноцветных шара;

H3 – из первой во вторую переложили два чёрных шара.

Найдём вероятности гипотез, которые могут быть определены с помощью двух подходов, первый из которых основан на их расчёте по формулам комбинаторики, а второй – с помощью теорем умножения и сложения вероятностей. Воспользуемся первым подходом.

р(H1) = clip_image012 = 1/28; р(H2) = clip_image014 = 3/7; р(H3) = clip_image016 = 15/28.

Проверка правильности вычисления р(Hi) , i = 1, 2, 3:

р(H1) + р(H2) + р(H3) = 1/28 + 12/28 + 15/28 = 1.

При условии реализации гипотез легко вычисляются условные вероятности р(А/H1) =3/4; р(А/H2) = 5/8 ; р(А/H3) =1/2. По формуле (1.9) получим:

р(А) = 1/28 ∙ 3/4 + 3/7 ∙ 5/8 + 15/28 ∙ 1/2 = 9/16.

б). Требуется уточнить вероятность наступления гипотезы Н1 .

По формуле (1.10) получим:

р(H1/А) = clip_image018= clip_image020 = 1/21.

Пермь Питер Пятигорск