Теория

Локальная предельная теорема Муавра – Лапласса

В практике применения приближенных формул имеют место случаи, когда число испытаний n велико, а величина вероятности p не стремится к 0, т.е. p не близка к 0. Тогда условие теоремы Пуассона не выполняется, и для вычисления вероятности Pn(k) биномиального типа используются локальная и интегральная теорема Муавра–Лапласа.

Теорема (локальная) Муавра–Лапласа. Если вероятноcть р наступ-ления события А в каждом испытании постоянна и отлична от 0 и 1, а n ≥ 1

Пьер-Симон Лаплас (1749 – 1827)

clip_image002

(n велико), то вероятность Pn(k) может быть вычислено по приближенной формуле:

clip_image004 (2.9)

где clip_image006функция Гаусса, а clip_image008

Замечание 12. Приближенные значения pn(k), получаемые по формуле (2.9), на практике считаются достаточно точными при npq ≥ 20.

clip_image010Рис. 2.5

Функция Гаусса φ(x) является четной, т.е. φ(-x) = φ(x), и она монотонно возрастает при x < 0 и монотонно убывает при x ≥ 0. График этой функции (рис. 2.5) называется кривой вероятнос-тей, φ(x) → 0 при x→ ± ¥. Значения φ(x) даются в таблице (приложение 1). Очевидно, что при x > 4 φ(x) близка к 0.

Пример. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для некоторого стрелка равна 0,8. Найти вероятность того, что при 150 выстрелах стрелок попадет в мишень 110 раз.

Решение. В данной задаче n = 150, p = 0,8, q = 0,2, k = 100, npq = 24≥ 20, поэтому применим формулу (2.9). Проводим вычисления последовательно:

1) clip_image012

2) По таблице приложения 1 для x = 2,041 находим значение φ(2,04)=0,0498.

3) По формуле (2.9) получаем:

clip_image014

Замечание 13. В ряде случаев для получения более точных значений функции φ(x), где x представляет промежуточное значение по отношению к табличным значениям xi, рекомендуется использовать линейную интерпо-ляцию по формуле

clip_image016

где (xi, φ(xi)) и (xi+1, φ(xi+1)) — табличные значения функции φ(x) соответственно в точках xi, xi+1.

Пермь Питер Пятигорск