Теория

Теорема сложения вероятностей несовместных событий

Пусть события А и В ― несовместные, причем вероятности этих событий известны. Вопрос: как найти вероятность того, что наступит одно из этих несовместных событий? На этот вопрос ответ дает теорема сложения.

Теорема. Вероятность появления одного из двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий:

p(А + В) = p(А) + p(В) (1.6)

Доказательство. Действительно, пусть n – общее число всех равновозможных и несовместных (т.е. элементарных) исходов. Пусть событию А благоприятствует m1 исходов, а событию Вm2 исходов. Тогда согласно классическому определению вероятности этих событий равны: p(А) = m1 / n, p(B) = m2 / n .

Так как события А и В несовместные, то ни один из исходов, благоприятствующих событию А, не благоприятствует событию В (см. схему ниже).

clip_image002

Поэтому событию А+В будут благоприятствовать m1 + m2 исходов. Следовательно, для вероятности p(А + В) получим:

p(А + В) = clip_image004 = clip_image006+clip_image008 = p(А) + p(В).

Что и требовалось доказать.

Используя метод математической индукции, теорему сложения двух несовместных событий можно обобщить на случай любого числа попарно несовместных событий, которая в этом случае примет формулировку: вероятность суммы конечного числа несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий.

p(А1 + А2 + … + Аn) = p(А1) + p(А2) + … + p(Аn),

или

clip_image010 = clip_image012.

Следствие 1. Сумма вероятностей событий, образующих полную группу, равна единице:

p(А) + p(В) + p(С) + … + p(D) = 1.

Действительно, пусть события А, В, С, … , D образуют полную группу. В силу этого они являются несовместными и единственно возможными. Поэтому событие А + В + С + …+ D, состоящее в появлении ( в результате испытания) хотя бы одного из этих событий, является достоверным, т.е. А+В+С+…+D = clip_image014 и p(А+В+С+ …+D) = 1.

В силу несовместности событий А, В, С,, D справедлива формула:

p(А+В+С+ …+ D) = p(А) + p(В) + p(С) + … + p(D) = 1.

Пример. В урне 30 шаров, из них 10 красных, 5 синих и 15 белых. Найти вероятность извлечения красного или синего шара при условии, что из урны извлекли только один шар.

Решение. Пусть событие А1 – извлечение красного шара, а событие А2 – извлечение синего шара. Данные события несовместны, причём p(А1) = 10 / 30 = 1 / 3; p(А2) = 5 / 30 = 1 /6. По теореме сложения получим:

p(А1 + А2) = p(А1) + p(А2) = 1 / 3 + 1 / 6 = 1 / 2.

Замечание 1. Подчеркнём, что по смыслу задачи необходимо прежде всего установить характер рассматриваемых событий — являются ли они несовместными. Если приведённую теорему применять к совместным событиям, то результат получится неверным.

Пермь Питер Пятигорск