Условная вероятность. Теорема умножения вероятностей

Пусть А и В – два события, рассматриваемые в данном испытании. При этом наступление одного из событий может влиять на возможность наступления другого. Например, наступление события А может влиять на событие В или наоборот. Для учёта такой зависимости одних событий от других вводится понятие условной вероятности.

Определение. Если вероятность события В находится при условии, что событие А произошло, то получаемая вероятность события В называется условной вероятностью события В. Для обозначения такой условной вероятности используются символы: р_А(В) или р(В / А).

Замечание 2. В отличие от условной вероятности, рассматривается и “безусловная” вероятность, когда какие-либо условия наступления некоторого события В отсутствуют.

Пример. В урне 5 шаров, среди которых 3 красных и 2 синих. Поочерёдно из неё извлекают по одному шару с возвратом и без возврата. Найти условную вероятность извлечения во второй раз красного шара при условии, что в первый раз извлечён: а) красный шар; б) синий шар.

Пусть событие А – извлечение красного шара в первый раз, а событие В – извлечение красного шара во второй раз. Очевидно, что р(А) = 3 / 5; тогда в случае, когда вынутый 1-й раз шар возвращается в урну, р(В)=3/5. В случае же когда вынутый шар не возвращается, вероятность извлечения красного шара р(В) зависит от того, какой шар был извлечён в первый раз – красный (событие А) или синий (событие ). Тогда в первом случае р_А(В) = 2 / 4, а во втором ( В ) = 3 / 4.

Теорема умножения вероятностей событий, одно из которых совершается при условии совершения другого

Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, найденную в предположении, что первое событие произошло:

р(А ∙ В) = р(А) ∙ р_А(В) . (1.7)

Доказательство. Действительно, пусть n – общее число равновозможных и несовместных (элементарных) исходов испытания. И пусть n₁ – число исходов, благоприятствующих событию А, которое наступает вначале, а m – число исходов, в которых наступает событие В в предположении, что событие А наступило. Таким образом, m – это число исходов, благоприятствующих событию В. Тогда получим:

р(А ∙ В) = = ∙ = ∙ = р(А) ∙ р_А(В).

Если события А и В поменять ролями в отношении первичного и вторичного совершения, то получим:

р(В ∙ А) = р(В) ∙ р_В(А).

Таким образом, в общем случае будем иметь:

р(А ∙ В) = р(А) ∙ р_А(В) = р(В) ∙ р_В(А). ч. и т. д. (1.8)

Теорема умножения (формула (1.7)) для произвольного числа событий обобщается и имеет вид:

Т.е. вероятность произведения нескольких событий равна произведению вероятности одного из этих событий на условные вероятности других, причём условная вероятность каждого последующего события вычисляется в предположении, что все предыдущие события произошли.

Пример. В команде из 10 спортсменов 4 мастера спорта. По жеребьёвке из команды выбирают 3-х спортсменов. Какова вероятность того, что все выбранные спортсмены – мастера спорта?

Решение. Приведём задачу к “урновой” модели, т.е. будем считать, что в урне, содержащей 10 шаров, имеется 4 красных шара и 6 белых. Из этой урны наудачу извлекаются 3 шара ( выборка S = 3 ). Пусть событие А состоит в извлечении 3-х шаров. Задачу можно решить двумя способами: по классической схеме и по формуле (1.9).

Первый способ, основанный на формуле комбинаторики:

р(А) = = = .

Второй способ (по формуле (1.9)). Из урны последовательно без возвращения извлекаются 3 шара. Пусть А₁ – первый извлечённый шар красный, А₂ – второй извлечённый шар красный, А₃ – третий извлечённый шар красный. Пусть также событие А означает, что все 3 извлечённых шара – красные. Тогда: А = А₁ ∙ (А₂ / А₁) ∙ А₃ / (А₁ ∙ А₂), т.е.

Пример. Пусть из совокупности карточек а, а, р, б, о, т последовательно извлекаются карточки по одной. Какова вероятность получения слова “работа” при последовательном складывании их в одну строку слева направо?

Пусть В – событие, при котором получается заявленное слово. Тогда по формуле (1.9) получим:

р( В ) = 1/6 ∙ 2/5 ∙ 1/4 ∙ 1/3 ∙ 1/2 ∙ 1/1 = 1/360.

Теорема умножения вероятностей приобретает наиболее простой вид, когда произведение образуется независимыми друг от друга событиями.

Определение. Событие В называется независимым от события А, если его вероятность не меняется от того, произошло событие А или нет. Два события называются независимыми ( зависимыми ), если появление одного из них не изменяет (изменяет) вероятность появления другого. Таким образом, для независимых событий р(В/A) = р(В) или = р(В), а для зависимых событий р(В/A) р(В) или р(В).

Утверждение. Если событие В не зависит от А, то и событие А не зависит от В.

Действительно, если по условию событие В не зависит от А, то р(В/A) = р(В). Запишем теорему умножения вероятностей (1.8) в двух формах:

р(А ∙ В) = р(А) ∙ р(В/A) = р(В) ∙ р(А/B).

Заменяя р(В/A) на р(В), получим р(А) ∙ р(В) = р(В) ∙ р(А/B), откуда, предполагая р(В) 0, получим р(А/B) = р(А), т.е. событие А не зависит от В, ч. и т. д.

Таким образом, независимость и зависимость событий всегда взаимны. Поэтому справедливо следующее определение независимости (зависимости) событий.