Теория

Вероятность заданного отклонения нормальной случайной величины от его математического ожидания

При решении практических задач по контролю технологических процессов возникают задачи вычисления вероятности попадания нормально распределенной случайной величины в интервал, симметричный относительно центра рассеивания, т.е. математического ожидания clip_image002. Данный интервал clip_image004 длины clip_image006 берется на числовой оси x, где значение x соответствуют случайной величине X. В этом случае вероятность

принадлежности clip_image008 clip_image010– окрестности будет равна:

clip_image012

Таким образом, вероятность заданного отклонения нормальной случайной величины от её математического ожидания выражается формулой

clip_image014 (3.23)

Последняя формула может использоваться как в прямых задачах: по известному clip_image016 и заданному числу clip_image010[1] найти вероятность clip_image019, так и в обратных задачах: по известному clip_image016[1] и заданной вероятности определяется отклонение контролируемого размера (детали, сооружения) от его среднего значения a.

Пример 2. На станке изготавливается деталь. Её контрольный размер clip_image008[1] есть случайная величина, распределенная по нормальному закону с параметрами clip_image023 линейных единиц и clip_image025 линейной единицы.

а) Какое отклонение контрольного размера от величины «clip_image027» можно гарантировать с вероятностью 0.9?

б) Найти также вероятность отклонения контрольного размера от clip_image023[1] не более, чем на 1,4 единицы, 2 единицы.

Решение. а). Отклонение контрольного размера от величины «a» с вероятностью clip_image030 найдем с использованием формулы (3.23) (обратная задача). Так как вероятность этого события известна, то из формулы clip_image032 найдем clip_image034 Далее по таблице приложения 2 и по известному значению функции clip_image036 определяется величина аргумента функции Лапласа. Получим clip_image038 единиц. Таким образом, с вероятностью clip_image040 гарантируется отклонение контрольного размера не более чем на 2,46 единиц, т.е. clip_image008[2] принадлежит clip_image043 (рисунок 3.24).

clip_image045clip_image046

Pис. 3.24

б) Вероятность отклонения контрольного размера не более чем, на 1.4 единицы находится непосредственно по формуле (3.23) (прямая задача). В этом случае clip_image048 и

clip_image050

Для clip_image052 имеем

clip_image054

Из полученных результатов видно, что большее отклонение от среднего размера обеспечивается с большей вероятностью, что соответствует качественной оценке этого результата.

Пермь Питер Пятигорск