Пусть некоторый оператор связи обслуживает 400 абонентов. Для каждого абонента, обслуживаемого этим оператором, вероятность того, что в течение часа он позвонит, равна 0,01. Найти вероятность следующих событий: а) в течение часа позвонят 5 абонентов, б) в течение часа позвонят не более 4 абонентов, в) в течение часа позвонят не менее 3 абонентов. Решение. Из условия задачи ...
Вероятность того, что лампочка, изготовленная данным заводом, является бракованной, равна 0,02. Для контроля наудачу отобрано 1000 лампочек. Оценить вероятность того, что частота бракованных лампо-чек в выборке отличается от вероятности 0,02 менее чем на 0,01. Решение. Пусть k - число бракованных лампочек в выборке. Необхо-димо оценить вероятность выполнения неравенства ...
Учебник по горному делу издан тиражом 10000 экземпля-ров. Вероятность того, что экземпляр учебника сброшюрован неправильно, равна 0,0001. Найти вероятность того, что тираж содержит ровно 5 бракован-ных книг. Решение. По условию задачи n = 10000, p = 0,0001, q = 0,9999. Находим npq = 10000 × 0,0001 × 0,9999 1 < 20. Используем далее формулу Пуассона. Применительно к ней l = ...
Вероятность наступления события А в каждом из 900 независимых испытаний равна 0,8. Найти вероятность того, что событие А произойдет: а) ровно 750 раз, б) от 710 до 740 раз. Решение. а) 1. По условию задачи n = 900, p = 0,8, q = 0,2, k = 750. На-ходим npq = 900 × 0,8× × 0,2 = 144 > 20. Используем далее локальную и интег-ральную формулы Лапласа. 2. 3. б) 1. npq = 144 > ...
Проведено 5 независимых испытаний, каждое из которых заключается в одновременном подбрасывании 2-х монет. Найти вероятность того, что ровно в 3-х испытаниях появилось два герба. Решение. В данном случае вероятность выпадения 2-х гербов в задаче не приведена. Поэтому вычисляется эта вероятность с помощью применения теоремы умножения независимых событий: p = p(A1×A2) = ...
Вероятность изготовления стандартной детали равна 0,95. Сколько должно быть деталей в контрольной партии, чтобы наиболее вероятное число нестандартных деталей в ней было равно 55? Решение. В условии задачи подразумевается независимость событий Аi – изготовление стандартных деталей с вероятностями обеспечения их стандартных свойств, равными 0,95. Но в условии задачи речь идет о ...
Контрольное задание состоит из 10 вопросов, предусмат-ривающих ответы "да" или "нет". а). Найти наиболее вероятное число правильных ответов, которые выберет учащийся, если по каждому вопросу он выбирает ответ наудачу. б). Найти также вероятность наиболее вероятного числа правильных ответов. Решение. а). Из условия задачи легко устанавливается, что в ней имеет место схема ...
Монета брошена 10 раз. Найти вероятность того, что герб выпадет: а) от 4-х до 6-ти раз; б) хотя бы один раз. Решение. События выпадения герба при многократном бросании монеты являются независимыми. В каждом испытании герб, так же, как и надпись, выпадает с вероятностью р = 0,5. Таким образом, задача относит-ся к схеме и формуле Бернулли. Для случая а) искомая вероятность ...
Вероятность выигрыша по лотерейному билету равна 0,05. Какова вероятность того, что среди купленных десяти билетов окажутся два выигрышных? Решение. Анализ условия задачи указывает, что в ней имеет место схема Бернулли (покупка билетов – независимые события). Требуется найти вероятность двух успехов из десяти, т.е. n = 10, k = 2. Вероятность успеха р = 0,05, неуспеха q = 0,95. ...
Определение. Число k0 наступления события А в n независимых испытаниях, образующих схему Бернулли, называется наивероятнейшим, если вероятность осуществления этого события Pn(k0), по крайней мере не меньше вероятности других событий Pn(k) при любых k. Для определения наивероятнейшего числа k0 рассмотрим систему неравенств (2.5) C помощью формулы Бернулли и формулы числа ...
Для бурения скважин на операции с потреблением энергии (бурение, подъем и спуск бура) затрачивается только часть рабочего времени. В остальное время осуществляется скрепление труб, их наращивание, ремонт и др. Остановка бурового станка есть случайное событие. Рассматривается 5 буровых станков. Вероятности того, что станки №1, №2, №3, №4, №5 не потребляют энергии, ...
60% учащихся в школе – девочки. 80% девочек и 75% мальчиков имеют мобильные телефоны. В учительскую принесли кем-то потерянный телефон. Какова вероятность, что этот телефон принадлежал девочке? (Мальчику?) Решение. Пусть событие А – владелец телефона, событие H1 – телефон принадлежит девочке, р(H1) = 0,6; событие H2 – телефон принадлежит мальчику, р(H2) = 0,4; условные ...
Некоторый завод (обозначим его H1) производит 40% всей продукции, а второй завод H2 – 60%. В среднем 9 единиц продукции из 1000 единиц продукции, произведённой на заводе H1, оказалось браком и 4 единицы из 1000 – брак завода H2. Случайным образом выбрана одна единица продукции и она оказалась бракованной. Какова вероятность того, что она произведена на заводе H2? Решение. ...
Записать формулы для вероятностей безотказной работы двух цепей, показанной на рисунке 1.18, при условии, что вероятность безотказной работы каждого элемента равна p. Рис.1.18 Для упрощения дальнейших расчетов разобьём цепь на три участка 1-й, 2-й и 3-й (рис. 1.18). 1) Вероятность безотказной работы 1-го участка р1 = p; 2) Вероятность безотказной работы 2-го участка: ...
Записать формулы для вероятностей безотказной работы двух цепей смешанного типа, показанных на рисунке 1.17. а б Рис.1.17 Решение. Из предыдущих формул для вероятностей р(С) и р(D) видно, что при последовательных соединениях элементов вероятность р(С) вычисляется по состояниям работы элементов, а при параллельном – вероятность Р(D) вычисляется по состояниям отказов , ...
Из цифр 1, 2, 3, 4 , 5 выбирается одна, а из оставшихся – вторая. Найти вероятность того, что будет выбрана нечётная цифра а) первый раз (событие A), б) второй раз (событие В), в) оба раза (событие С). Ответ: р(А) = 0,6; р(В) = 0,5; р(С) = 0,3.
Детали проходят 3 операции обработки. Вероятность получения брака на первой операции равна 0,02, на второй – 0,03, на третьей 0,02. Найти вероятность получения детали без брака после 3-х операций, предполагая, что брак на отдельных операциях реализуется независимо. Ответ: р(А) = 0,98∙ ∙ 0,97 ∙ 0,98 = 0,93.
В ящике 10 деталей, среди которых 7 окрашенных. Сборщик наудачу достаёт 4 детали. Найти вероятность того, что все детали окрашенные. Решить задачу двумя способами: с использованием комбинаторики и по формуле, соответствующей формуле (1.9) . Ответ: р(А) = = 1/6; р(А) = 7/10 ∙ 6/9 ∙ 5/8 ∙ 4/7 = 1/6.
Три стрелка попадают в мишень соответственно с вероятностями 0,9; 0,8 и 0,7. Какова вероятность того, что: а) хотя бы один попадёт в мишень; б) только один из стрелков попадёт в мишень; в) все три стрелка попадут в мишень; г) ни один из стрелков не попадёт в мишень; д) ходя бы один из стрелков не попадёт в мишень? Решение. а) Пусть событие А – хотя бы один из стрелков попадёт ...
Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для первого стрелка равна р(А1) = х (неизвестная величина), для второго р(А2) = 0,7. Известно также, что вероятность ровно одного попадания при одном выстреле обоих стрелков равна 0,38. Найти р(А1). Решение. Пусть событие С – ровно одно попадание при одном выстреле. Тогда С = ∙+∙А2. Вероятность появления события С по формуле ...