Задачи

Задача о встрече. Два студента обедают в одном кафе, которое открыто с 12 до 13 часов. Каждый из них приходит в произвольный момент времени и обедает в течение 10 минут. Какова вероятность их встречи?

Задача о встрече. Два студента обедают в одном кафе, которое открыто с 12 до 13 часов. Каждый из них приходит в произвольный момент времени и обедает в течение 10 минут. Какова вероятность их встречи?

Решение. Пусть x – время прихода первого студента в столовую, а y – время прихода второго студента clip_image002. Можно установить взаимно ‒ однозначное соответствие между всеми парами чисел (x; y) (или множеством исходов) и множеством точек квадрата Ω со стороной равной 1 на координатной плоскости, где начало координат соответствует числу 12 по оси X и по оси Y, как изображено на рис. 1.12.

clip_image004 Рис. 1.12

Здесь, например, точка А соответствует исходу, заключающемуся в том, что первый пришел в 12.30, а второй в 13.00. В этом случае, очевидно, встреча не состоялась. Если первый пришел не позже второго (y ³ x), то встреча произойдет при условии 0 £ y – x £ 1/6 (10 мин. это 1/6 часа), а если второй пришел не позже первого (x ³ y), то встреча произойдет при условии 0 £ x – y £ 1/6.

clip_image006 Рис. 1.13

Между множеством исходов, благоприятствующих встрече, множеством точек области D, изображенной на рис. 1.13 в заштрихованном виде, можно установить взаимно ‒ однозначное соответствие. Искомая вероят-ность p равна отношению площади области D к площа-ди всего квадрата Ω. Площадь квадрата Ω равна единице, а площадь области D можно определить как разность единицы и суммарной площади двух треугольников, изображенных на рис. 1.13. Отсюда следует:

clip_image008.

Пермь Питер Пятигорск