Задачи

Для бурения скважин на операции с потреблением энергии (бурение, подъем и спуск бура) затрачивается только часть рабочего времени. В остальное время осуществляется скрепление труб, их наращивание, ремонт и др. Остановка бурового станка есть случайное событие. Рассматривается 5 буровых станков. Вероятности того, что станки №1, №2, №3, №4, №5 не потребляют энергии, соответственно равны 0,3; 0,35; 0,4; 0,45; 0,5

Для бурения скважин на операции с потреблением энергии (бурение, подъем и спуск бура) затрачивается только часть рабочего времени. В остальное время осуществляется скрепление труб, их наращивание, ремонт и др. Остановка бурового станка есть случайное событие. Рассматривается 5 буровых станков. Вероятности того, что станки №1, №2, №3, №4, №5 не потребляют энергии, соответственно равны 0,3; 0,35; 0,4; 0,45; 0,5. а). Определить вероятность того, что в данное время некоторый произвольно выбранный станок для контроля не потребляет электроэнергию. б). Выбран наудачу один из станков и оказалось, что он не потребляет электроэнергию. Найти вероятность того, что это станок №4.

Решение. а). Используя изложенную выше методику, будем иметь: 1) введем в рассмотрение событие А — станок не потребляет энергию; 2) относительно появления события А сделаем гипотезы: Hi — не потребляет энергию станок с номером i = 1, 2, … , 5. События H1, H2 … , H5 образуют полную группу: H1 + H2 + … + H5 = W (т.к. выбирается для контроля какой либо один из станков) и Hi × Hj = Æ, ij; i, j = 1, 2, … , 5 ( т.к. для контроля выбирается один, а не два станка). Таким образом, условия теоремы полной вероятности выполнены. Далее по пункту 3 методики имеем: 3) вероятность, того что для контроля выбран станок №1 р(Н1) = 1/5, …, вероятность, того что для контроля выбран станок №5 р(Н5) = 1/5, т.е. р(Н1) = р(Н2) =…= р(Н5) = 1/5·(clip_image002). Условные вероятности: вероятность того, что при усло-вии, что будет выбран станок №1 р(А/H1) = 0,3; … вероятность того, что при условии, что будет выбран станок №5 р(А/H5) = 0,5. 4) Следовательно,

р(А) = р(H1) × р(А/H1) + … + р(H5) × р(А/H5) = clip_image004

б). Событие А и гипотезы Н1, Н2, …,Н5 уже были введены в пункте а) и получены вероятности р(А), clip_image006i = 1, 2,…, 5. По условию задачи требуется найти вероятность clip_image008 т.е. уточнить вероятность гипотезы H4 при условии, что для контроля выбран четвертый станок. По формуле Байеса имеем

р(H4 /А) = clip_image010= ( 0,2 ∙ 0,45 ) / 0,4 = 0, 225.

После разобранных примеров подчеркнем еще раз, что формулы Бейеса вместе с формулой полной вероятности имеют следующее применение. Пусть имеется несколько предположений (несовместных гипотез) для объяснения некоторого события. Эти предположения проверяются с помощью эксперимента (опыта). Перед началом эксперимента (опыта) зачастую бывает трудно определить вероятности этих предположений ¾ гипотез, которые обычно называют доопытными (априорными) вероятностями. Поэтому этим гипотезам приписывают из интуитивных или каких-либо других соображений определенные вероятности. Затем проводят эксперимент и получают первую информацию, на основании которой выполняют коррекцию доопытных вероятностей.

Таким образом, основываясь на результатах опыта, заменяют доопытные вероятности послеопытными (апостериорными) вероятностями. При этом вероятности некоторых гипотез могут настолько уменьшиться, что в дальнейшем ими вообще можно пренебречь. Эксперимент можно продолжить далее (повторить опыт), в результате по мере получения новой информации будет укрепляться предположение о справедливости той или иной гипотезы.

В настоящее время с внедрением совершенной вычислительной техники практически во все сферы человеческой деятельности формулы Бейеса находят все более широкое применение при решении задач управления в экономике и промышленности, связанных с недостаточной информацией. По мере поступления и накопления информации проводится корректировка различных решений и планов.

Пермь Питер Пятигорск