Задачи

Три стрелка попадают в мишень соответственно с вероятностями 0,9; 0,8 и 0,7. Какова вероятность того, что: а) хотя бы один попадёт в мишень; б) только один из стрелков попадёт в мишень; в) все три стрелка попадут в мишень; г) ни один из стрелков не попадёт в мишень; д) ходя бы один из стрелков не попадёт в мишень?

Три стрелка попадают в мишень соответственно с вероятностями 0,9; 0,8 и 0,7. Какова вероятность того, что: а) хотя бы один попадёт в мишень; б) только один из стрелков попадёт в мишень; в) все три стрелка попадут в мишень; г) ни один из стрелков не попадёт в мишень; д) ходя бы один из стрелков не попадёт в мишень?

Решение. а) Пусть событие А – хотя бы один из стрелков попадёт в мишень, а Ai (i = 1, 2, 3) – попадание в мишень, i-м стрелком. Тогда по формуле (1.12)

р(А) = 1 – р(clip_image002) ∙ р(clip_image004) ∙ р(clip_image006) = 1 – 0,1 ∙ 0,2 ∙ 0,3 = 0,94.

б) Пусть событие В – только один из стрелков попадёт в мишень, тогда событие В выражается по формуле для суммы следующих трех событий:

В = А1clip_image004[1]clip_image006[1] + clip_image002[1]А2clip_image006[2] + clip_image002[2]clip_image004[2]А3;

В силу несовместности и независимости событий А1, А2, А3 по теоремам умножения и сложения получим:

р(В) = р1) ∙ р(clip_image004[3]) ∙ р(clip_image006[3]) + р(clip_image002[3]) ∙ р2) ∙ р(clip_image006[4]) + р(clip_image002[4]) ∙ р(clip_image004[4]) ∙ р(А3);

р(В) = 0,9 ∙ 0,2 ∙ 0,3 + 0,1 ∙ 0,8 ∙ 0,3 + 0,1 ∙ 0,2 ∙ 0,7 = 0,092.

в) Пусть событие С – все три стрелка попадут в мишень. Тогда по теореме умножения независимых событий (1.10) получим:

р(С) = р(А1А2А3 ) = р(А1) ∙ р(А2) ∙ р(А3) = 0,9 ∙ 0,8 ∙ 0,7 = 0,504.

г) Пусть событие D – ни один из стрелков не попадёт в мишень. Тогда также по теореме умножения будем иметь:

р(D) = р(clip_image002[5]clip_image004[5]clip_image006[5]) = р(clip_image002[6]) ∙ р(clip_image004[6]) ∙ р(clip_image006[6] ) = 0,1 ∙ 0,2 ∙ 0,3 = 0,006.

д) Пусть событие Е – хотя бы один из стрелков не попадёт в мишень. Тогда события clip_image002[7], clip_image004[7], clip_image006[7] причислим к исходным событиям, а А1, А2, А3 – к противоположным. По формуле (1.12) получим:

р(Е) = 1 – р(А1А2А3) = 1 – р(А1) ∙ р(А2) ∙ р(А3) = 1 – 0,9 ∙ 0,8 ∙ 0,7 = 0,496

или Е – как событие, противоположное событию С. Тогда

р(Е) = 1 – р(С) = 1 – 0,504 = 0,496.

Пермь Питер Пятигорск