К типовым звеньям АИС относятся простейшие звенья, которые имеют уравнения не выше второго порядка.
Безынерционное (усилительное) звено осуществляет наиболее простое преобразование входной величины — усиление без запаздывания. Его уравнение имеет вид:
, (1.7)
где k – постоянная величина ( коэффициент усиления).
Чтобы выяснить свойства безынерционного звена, применим операторный метод и запишем уравнение (1.7) в изображениях
Передаточная функция звена
,
(см.формулу 1.5).
Отсюда h(t)=k, т.е. переходная характеристика безынерционного звена есть прямая линия (рис. 1.10,а).
Используя соотношение (1.6), получаем комплексный коэффициент усиления
(1.8)
Из выражения (1.8) следует, что график амплитудо-фазовой характеристики (АФХ) безынерционного звена есть точка на действительной оси на расстоянии k от начала координат (рис.1.10,б). На рис.1.10, в приведена фазо-частотная характеристика (ФЧХ) =0 безынерционного звена.
Инерционное (апериодическое) звено описывается дифференциальным уравнением первого порядка
(1.9)
и характеризуется двумя числовыми величинами:
k — коэффициентом усиления, который определяет статические свойства звена, т.е. величину уС, в статическом режиме ;
— постоянной времени, которая определяет длительность переходного процесса (инерционность) звена.
Уравнение (1.9) в изображениях при нулевых начальных условиях имеет вид:
.
Отсюда получаем передаточную и переходную функцию инерционного звена
. (1.10)
Оригинал h(t) будет иметь вид:
т.е. переходная характеристика инерционного звена есть возрастающая экспонента (рис.1.11,а). Величина определяется геометрически как проекция касательной в любой точке экспоненты. За время выходная величина достигает 63% своего конечного значения. Время переходного процесса принимается равным 3.
Произведя замену р = j в (1.10), получаем комплексный коэффициент усиления инерционного звена
. (1.11)
Из выражения (1.11) определяется модуль А и аргумент :
(1.12)
На рис.1.11,б приведена АФХ инерционного звена, построенная по выражениям (1.12) при изменении от 0 до . Она представляет собой полуокружность в четвертом квадранте с центром, расположенным на действительной оси на расстоянии R= k/2 от начала координат. Из графика АФХ видно, что инерционное звено является фильтром низких частот. За полосу пропускания звена принято считать диапазон частот
,
когда коэффициент усиления изменяется от k до . При
. На рис.1.11,в приведена ФЧХ инерционного звена.
Колебательное звено описывается дифференциальным уравнением второго порядка
(1.13)
От вида корней характеристического уравнения
зависит характер переходного процесса может быть колебательным затухающим (корни комплексно-сопряжённые, рис.1.12,а), колебательным незатухающим (корни чисто мнимые, рис.1.12, б) и апериодическим (корни вещественные, рис. 1.12, в).
При нулевых начальных условиях уравнение (1.13) в изображениях имеет вид:
. (1.14)
Из уравнения (1.14) находим передаточную и переходную функцию колебательного звена
и комплексный коэффициент усиления
На рис.1.12,г показана АФХ колебательного звена. При
в работе звена может наблюдаться резонанс, когда коэффициент усиления амплитуды больше статического коэффициента k. При
На рис.1.12,д приведена ФЧХ колебательного звена.
Дифференцирующе звено даёт на выходе величину, пропорциональную производной от входной величины.
Идеальное дифференцирующее звено описывается уравнением
или в изображениях при нулевых начальных условиях
(1.15)
Из уравнения (1.15) следует:
. (1.16)
Оригинал h(t):
.
График переходной характеристики имеет вид мгновенного импульса (рис.1.13,а) с амплитудой равной бесконечности. Если на вход идеального дифференцирующего звена подана синусоида, то на выходе сигнал будет изменяться по косинусоиде (рис.1.13,б).
Из выражения (1.16) получаем комплексный коэффициент усиления идеального дифференцирующего звена:
.
АФК совпадает с положительной мнимой полуосью, так как и
(рис.1.13,в).
Реальное дифференцирующее звено описывается уравнением
или в изображениях при нулевых начальных условиях
.
Передаточная и переходная функции звена
. (1.17)
Оригинал h(t)
Переходная характеристика приведена на рис.1.14, а. Реальные дифференцирующие звенья дают на выходе производную с некоторым искажением, которое заключается в том, что амплитуда выходного импульса конечна, а сдвиг по фазе не равен точно 900 (рис.1.14,в).
Из выражения (1.17) получаем комплексный коэффициент усиления реального дифференцирующего звена
,
причём
.
АФХ имеет вид полуокружности в первом квадранте (рис.1.14,б). Таким образом, инерционность реального звена уменьшает опережение по фазе тем больше, чем выше угловая частота , что также видно из графика ФЧХ (рис.1.14,б).
Идеальное интегрирующее звено описывается уравнением
(1.18)
или в интегральной форме
(1.19)
т.е. выходная величина пропорциональна интегралу по времени от входной величины.
Уравнение (1.18) в изображениях имеет вид
тогда изображение передаточной и переходной функции
. (1.20)
Оригинал h(t)
. (1.21)
Согласно (1.21) переходная характеристика есть прямая линия с углом наклона = arctg k (рис.1.15,а), ординаты которой при данном t равны площади под кривой х(t), т. е. значению интеграла (1.19). В качестве интегрирующего часто используют инерционное звено, которое выполняет интегрирование на прямолинейном участке экспоненты (см. рис.1.11,а). При этом, чем больше постоянная времени , тем с большей точностью выполняется интегрирование.
Из выражения (1.20) получаем комплексный коэффициент усиления интегрирующего звена:
Так как и
, то АФХ совпадает с отрицательной мнимой полуосью (рис.1.15, б), т.е. в идеальном интегрирующем звене выходные колебания отстают по фазе от входных на угол 90° (рис. 1.15, в).