В гидромеханике особо важное значение имеет теория подобия и размерностей, так как для получения характеристик тел, обтекаемых потоком жидкости или газа, она устанавливает условия перенесения результатов экспериментальных данных, полученных на модели, на натурный объект.
Процесс изучения объекта или физического явления при помощи модели или другого явления называется моделированием. Таким образом, теория подобия и размерностей является научной основой моделирования.
Различают два вида моделирования: физическое и математическое. Если физика явлений в исследуемом объекте и его модели одинакова и если процессы, протекающие в модели и объекте, описываются одинаковыми математическими и логическими зависимостями, то такое моделирование называется физическим.
Основное достоинство физического моделирования состоит в том, что оно позволяет непосредственно наблюдать характер протекания физического процесса на модели.
Если объект и его модель имеют различную физическую природу, а описывающие их математические и логические зависимости идентичны, то такое моделирование называется математически.
Два явления называются физически подобными, если для них можно установить соответственные точки пространства и соответственные моменты времени так, чтобы в этих точках пространства в эти моменты времени все физические параметры, характерные для данных явлений, были пропорциональны. Физическое моделирование в гидродинамических исследованиях базируется на понятии физического (в данном случае механического) подобия, под которым понимается комплекс условий, обеспечивающих одновременно геометрическое, кинематическое и динамическое подобия.
Геометрическое подобие – подобие формы (расстояний или координат). Тела или системы называются геометрически подобными, если отношения их сходственных линейных размеров одинаковы. Следует отметить, что к числу линейных размеров относятся и размеры, определяющие положение геометрически подобных тел в пространстве (например, пропорциональность и коллинеарность радиусов-векторов сходственных точек модели и натуры относительно начала координат).
В геометрически подобных телах и системах соответствующие углы равны.
Кинематическое подобие — подобие движения. Движения двух систем кинематически подобны, если при соблюдении геометрического подобия во всех сходственных точках этих систем в сходственные моменты времени векторы скоростей имеют одинаковые направлении, а отношения модулей скоростей постоянны. В частности, кинематически подобные потоки жидкости имеют линии тока одинаковой формы с подобными граничными условиями.
Динамическое подобие — подобие сил. Две системы динамически подобны, если при выполнении геометрического и кинематического подобия выполняются следующие три условия:
в сходственных точках этих систем в сходственные моменты времени (для стационарных процессов любые моменты времени являются сходственными) действуют одинаковые силы (одной и той же природы);
отношения между всеми одинаковыми силами во всех сходственных точках системы одинаковы;
движения систем должны описываться одинаковыми дифференциальными уравнениями, а также одинаковыми начальными и подобными граничными условиями.
Таким образом, теория подобия дает возможность правильно обобщить экспериментальные или расчетные данные и по результатам исследований характеристик модели сделать заключения о характеристиках натурного объекта.
Подобие называется полным, если во всем пространстве, окружающем натурный объект и соответствующую модель, подобие картин движения соблюдается полностью, т. е. если подобны многоугольники скоростей, ускорений, действующих сил, и все однородные физические величины, определяющие движение, находятся в определенном постоянном соотношении в сходственных точках пространства в сходственные моменты времени. Если это условие не соблюдается, т. е. если не все физические величины, характеризующие движение модели и натурного объекта, находятся в определенном постоянном соотношении, то подобие называется неполным или частичным. Полное динамическое подобие — редко достигаемый предел. Наиболее часто экспериментальные исследования приходится проводить лишь в условиях частичного подобия, определяющего для данного явления.
Для обеспечения механического подобия двух явлений, определяющихся имеющими единственное решение системами дифференциальных, алгебраических или функциональных уравнений, необходима и достаточна тождественность основных уравнений и тождественность безразмерных граничных и начальных условий.
Механическое подобие предусматривает подобие сил взаимодействия потока с обтекаемыми им твердыми телами. Это позволяет путем гидромеханического эксперимента на модели или, как его иногда называют в более узком смысле слова, гидродинамического эксперимента на модели делать вывод об гидродинамическом качестве натурного объекта.
В данном курсе будут изложены элементы теории подобия и размерностей. Необходимо иметь в виду, что не всегда имеются уравнения, описывающие исследуемый процесс. В этом случае полезным является метод анализа размерностей. Метод анализа размерностей позволяет определить критерии подобия и базируется на так называемой π-теореме, априорном утверждении о существовании некоторой функциональной связи между параметрами процесса и элементами системы; π -теорема устанавливает связь между функцией, выраженной через размерные параметры, и функцией в безразмерной форме.