Предельные теоремы теории вероятностей устанавливают связь между теоретическими и экспериментальными характеристиками случайных величин при большом числе испытаний. Рассматриваются две группы предельных теорем: – закон больших чисел (устанавливает устойчивость массовых случайных явлений) – центральная предельная теорема (устанавливает условия, при которых закон распределения ...
Плотность вероятности нормально распределенной случайной величины Х имеет вид: . а) Найти коэффициент с и параметр σ; б) написать функцию распределения ; в) найти вероятность попадания случайной величины в промежуток . Решение. а) Таким образом,; . Параметр может быть определен из сопостав -ления с общей формулой Очевидно, что б) ; в)
Точка брошена в круг радиуса . Вероятность ее попадания в любую область, расположенную внутри круга, пропорциональна площади этой области. Найти: а) функцию распределения ; б) плотность распределения если случайная величина – есть расстояние точки до центра круга. Решение. а) В соответствии с определением . Найдем выражение для функции . По условию задачи вероятность ...
Автобусы идут с интервалом 15 минут. Предполагая, что T – время ожидания автобуса на остановке - имеет равномерное распределение, найти: а) плотность вероятности б) функцию распределения в) вероятность того, что время ожидания не превзойдет 6 минут, г) – среднее время ожидания и рассеивание относительно среднего времени ожидания. Решение. а) В данной задаче примем ; тогда ...
Случайная величина имеет равномерный закон распределения на отрезке . а) Записать функцию, соответствующую плотности распределения вероятностей ; б) записать функцию распределения ; в) найти ;вероятность события ; г) Найти и . Решение. а) По формуле для равномерного распределения имеем б) По формуле получим: на интервале (–∞,0) ; на интервале (0,2) ; на интервале ...
Кривая распределения случайной величины имеет вид, изображенный на рисунке 3.26 (закон прямоугольного треугольника). а) Написать выражение для плотности вероятности. б) Найти функции распределения. в) Найти вероятность попадания случайной величины в промежуток от до . Рис. 3.26 Решение. а) Абсцисса «» для данного распределения является параметром, а ордината «b» должна ...
Случайная величина имеет плотность вероятности (закон Коши). Найти: а) постоянную c; б) функцию распределения ; в) вероятность события . Решение. а) Постоянная c находится из условия нормировки ; получим: ; ; ; б) ; в)
Случайная величина задана нижеследующими функциями распределения . а). Является ли случайная величина непрерывной? б). Имеет ли случайная величина плотность вероятности ? Если имеет, то найти . в). Построить (схематически) и . Указать тип распределения. А) Б) Решение А). а). Проверим непрерывность : . В точке предел слева совпадает с пределом справа, и поэтому в точке ...
Эмпирическое распределение показателей некоторых месторождений полиметаллов, редких цветных металлов и золота достаточно хорошо описываются гамма – распределением. Плотность вероятности гамма–распределения определяется формулой Здесь и – параметры гамма – распределения, связанные с и зависимостями , , т.е. ; , – гамма – функция, равная Интегральная функция для ...
Полагая в формуле (3.23) получим вероятность, гарантирующую такое отклонение: В этом случае вероятность противоположного события Это значение соответствует очень маленькой вероятности (отклонение от «а» менее, чем на 1%), и поэтому такой малой вероятностью можно в большинстве практических задач пренебречь, т.е. отклонение от своего среднего значения меньше, чем – почти ...
При решении практических задач по контролю технологических процессов возникают задачи вычисления вероятности попадания нормально распределенной случайной величины в интервал, симметричный относительно центра рассеивания, т.е. математического ожидания . Данный интервал длины берется на числовой оси x, где значение x соответствуют случайной величине X. В этом случае ...
В соответствии со свойством 2 плотности распределения вероятность попадания случайной величины в заданный интервал выражается формулой: . Для нормального распределения получим: Используя функцию Лапласа получим (3.21) Формула (3.21) используется для вычисления вероятности попадания нормальной случайной величины в заданный интервал. При этом значения при или отыскиваются ...
1. Общие положения Непрерывная случайная величина Х имеет нормальное распределение, если ее плотность вероятности имеет вид: (3.20) где а – произвольный, а – положительный параметры. Закон (распределение) Гаусса имеет огромное значение в теории вероятностей и её приложениях. Основное отличие этого закона от рассмотренных выше законов заключается в том, что он ...
Рассматриваемое ниже нормальное распределение находит широкое применение в анализе погрешностей при изготовлении изделий различных видов, в том числе и изделий горного производства. Контроль изготовленных изделий связан с их измерениями. Поэтому необходимо предварительно познакомится с типами ошибок. Измерение любых объектов (линейных размеров изделий, углов, масс, площадей, ...
Закону распределения Максвелла (1831–1879, шотландский физик, математик, астроном), относящемуся к модулю скорости молекулы газа, соответствует плотность вероятности где m – масса молекулы, K – постоянная Больцмана (1844 – 1906, австрийский физик), T – абсолютная температура. Функция F(x) находится путем интегрирования f(x): Выполняя замену , получим: Замечание. ...
Непрерывная случайная величина Х имеет показательное (экспоненциальное) распределение, если ее плотность вероятностей имеет вид Кривая плотности и график функции распределения случайной величины Х показан на рисунке 3.21 а): Рис.3.21 Функция (рисунок 3.21 б) получается путем интегрирования : При x < 0 Найдем M(x) и D(x): таким образом, ; ...
Непрерывная случайная величина Х имеет равномерное распределение на отрезке , если ее плотность вероятности f(x) постоянна на этом отрезке и равна нулю на остальной части числовой оси Ox, т.е. Из условия нормировки функции f(x) найдем константу C: , таким образом График f(x) для равномерного распределения случайной величины Х изображен на рисунке 3.19: ...
Можно показать, что для гипергеометрического распределения с вероятностями , где ,m,n – натуральные числа)
Геометрическому распределению со случайной величиной Х: 1,2,3… (см. типовой пример 3 подразделе 3.4) соответствует ряд распределения: X 1 2 3 … m … P p qp q2p … qm-1p … Найдем M(X) и D(X) для данного распределения. , тогда ; , следовательно, Таким образом, M(X) = 1 / p; D(X) = q / p2; . Так, для примера 3, приведенного в подразделе 3.4 для геометрического ...
Данное распределение является предельным для биномиального распределения, когда n→∞, p→0, причем n·p = const = λ, где λ – параметр. Случайной величине X, распределенной по закону Пуассона, соответствует ряд распределения (): X 0 1 2 … m … P e–λ (λe–λ)/(1!) (λ2 e–λ)/(2!) … (λm e–λ)/(m!) … Для этого ряда Производящая функция для данного распределения ...