В соответствии с данным выше определением биноминальному закону распределения, в котором вероятность появления события А равна соответствует ряд распределения: X 0 1 2 … m … n P qn Cn1p1qn-1 Cn2p2qn-2 … Cnmpmqn-m … pn Для этого ряда а функция распределения имеет вид Опираясь на свойства M(X) и D(X) и на то, что Xi – число появления события А в каждом ...
Производящая функция используется для определения основных числовых характеристик дискретных случайных величин в случае, когда . Рассмотрим дискретный ряд распределения: X 0 1 2 … n … P p0 p1 p2 … pn … Для этого ряда производящей функцией называется степенной ряд: (3.17) где – произвольный параметр, такой, что Здесь вероятности p0, p1, ..., pn,…– являются ...
Модой дискретной случайной величины называется значение этой величины, принимаемое с наибольшей вероятностью в сравнении с двумя соседними значениями. Мода обозначается через . Для непрерывной случайной величины мода — точка максимума (локального) плотности . Если мода единственна, то распределение случайной величины называется унимодальным, в противном случае — ...
Для примера 2 из подраздела, посвященного типовым примерам на плотность вероятности f(x); вычислить для этой f(x), M(X), D(X), Решение. В примере 2 получена формула для функции: По формулам (3.9) и (3.15) для M(X), D(X) получим:
Случайная величина имеет плотность вероятности (показательный закон распределения): Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины . Решение. Согласно (3.9) ; . (Здесь при переходе к последнему интегралу воспользовались формулой интегрирования по частям).
Дискретная случайная величина X задана законом распределения: X –1 0 1 2 Y 0,1 0,3 0,5 0,1 Найти математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратичное отклонение величин и . Решение. По формуле (3.8) для математического ожидания получим: По формуле (3.14) для дисперсии получим: Аналогично для M(Y): можно рассчитать по формуле или с использованием свойств ...
1. Дисперсия постоянной величины равна нулю, т.е. . Действительно, , т.к. свойству 1 математического ожидания. 2. Постоянный множитель, входящий под знак дисперсии, можно выносить за знак дисперсии, возводя его в квадрат, т.е. . Действительно, 3. Дисперсия суммы двух (и более) независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин т.е. . Действительно, по ...
Математическое ожидание не дает полного представления о законе распределения случайной величины, о чем свидетельствует следующий пример. Пример. Заданы две дискретные случайные величины законами распределения: –2 0 2 и –100 0 100 0,4 0,2 0,4 0,3 0,4 0,3 Для этих законов распределения получаются и : Следовательно, рассматриваемые законы имеют ...
Здесь рассматриваются наиболее важные свойства математического ожидания для дискретных случайных величин. 1). Математическое ожидание для закона распределения с постоянной случайной величиной равно этой постоянной величине, т.е. Действительно, . Таким образом, эта случайная величина принимает лишь одно значение с вероятностью . 2).Постоянный множитель можно выносить за знак ...
Математическим ожиданием (или средним значением) дискретной случайной величины Х с законом распределения … … где , называется число, равное сумме парных произведений всех значений этой случайной величины на соответствующие вероятности. Иначе, математическое ожидание – это среднее арифметическое значе-ние случайной величины Х, взвешенное по вероятностям её ...
Закон распределения дает полную характеристику случайной величины с вероятностной точки зрения. Но иногда при решении практических задач нужно знать только некоторые количественные (числовые) характеристики случайной величины, которые характеризуют отдельные, наиболее существенные свойства закона распределения случайной величины. Наиболее важными и широко распространенными ...
Являются ли плотностью распределения некоторой случайной величины каждая из следующих функций: а) при б) Решение. а): не является функцией распределения, т.к. она не удовлетворяет первому свойству – свойству неотрицательности функции . Действительно, если . б): при любых области определения этой функции и, кроме того, из условия нормировки следует: ; При значении ...
Кривая распределения непрерывной случайной величины имеет вид, показанный на рисунке 3.12. Рис. 3.12 а). Найти формульное выражение для функции.б). Найти функцию . в). Найти вероятность события: . Решение. а). Из условия нормировки следует, что ; ; . Используя рисунок 3.12, получим: Замечание. Уравнение определяется по формуле уравнения прямой, проходящей через две ...
Плотность распределения вероятностей случайной величии-ны задана функцией: . Найти значение параметра a и записать функцию . Решение. В соответствии с условием 4 нормировки функции имеем: , следовательно, , поэтому , получаем , , . Следовательно, для окончательно получим .
1. Плотность неотрицательная функция, т.е. . Действительно, – не убывает, поэтому . График (кри-вая распределения) располагается выше оси абсцисс, а плотность может принимать любые, в том числе и очень большие значения. 2. Вероятность попадания непрерывной случайной величины в интервал равна определенному интегралу от , взятому в пределах от до , т.е. Это свойство ...
Дифференциальной функцией распределения (плотностью распределения или просто плотностью вероятностей) непрерывной случайной величины называется производная интегральной функции распределения, т.е. О случайной величине говорят, что она имеет распределение (или распределена) с плотностью на определенном участке оси абсцисс. Подчеркнем, что функция существует только для ...
С вероятностью попадания при одном выстреле 0,7 охотник стреляет по дичи до первого попадания, но успевает сделать число выстрелов, не превышающих четыре. Дискретная случайная величина Х – число промахов. Найти: а) закон распределения Х – числа промахов; б) вероятность событий Х < 2, 1 < Х ≤ 3. Решение. а) Возможными значениями случайной величины Х являются Х: 0, 1, 2, ...
В урне 7 шаров, из которых 4 белых и 3 черных. Из урны извлекают 3 шара. Х − число извлечений белых шаров. Найти: а) закон распределения дискретной случайной величины Х – числа извлечений белых шаров, б) найти вероятность события X ≥ 2. Решение. а). Возможными значениями случайной величины Х являются числа х: 0, 1, 2, 3. Найдем соответствующие им вероятности с помощью ...
По мишени производится 4 независимых выстрела с вероятностью попадания при каждом выстреле р = 0.8. Найти: а) закон распределения дискретной случайной величины Х, равной числу попадания в мишень; б) вероятность событий 1 ≤ х ≤ 3 , х > 3; в) построить многоугольник распределения. Решение. а). Ряд распределения в общем виде записывается так: Х X 0 1 2 3 4 P p0 p1 ...
Рассмотрим распределение для независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А равна p (0 < р < 1), и испытания заканчиваются, как только появится событие А, т.е., если событие А появилось в k–ом испытании, то в предшествующих k – 1 испытаниях оно не появлялось. Полагая k = 1, 2, … , в условияx геометрического распределения для вероятностей ...