Пусть заданы натуральные числа m, n, s ( m≤ s ≤ n ). Если возможными значениями дискретной случайной величины Х являются 0, 1, 2, ..., m, а соответствующие им вероятности определяются по формуле то говорят, что случайная величина Х имеет гипергеометрический закон распределения.
Если возможными значениями дискретный случайной величины Х являются 0, 1, 2,…, n, а соответствующие им вероятности вычисляются по формуле Бернулли Рn (k) = , k = 0, 1,…, , где q = 1– p, то говорят, что случайная величина Х имеет биномиальный закон распределения. Предельным для биномиального закона распределения при , при является закон распределения Пуассона. Для данного ...
1. Функция распределения есть функция не отрицательная, заключенная между 0 и 1, т.е. 0 ≤ F(x) ≤ 1. Это свойство вытекает из определения F(x) как вероятности. Рис. 3.6 2. Функция распределения есть неубываю-щая функция, т.е. F(x2) ≥ F(x1), если x2 > x1. Действительно, пусть x1 < x2. Тогда P(X< x2) = P(X<x1) + P(x1≤ x<x2). Отсюда следует, что . . 3. ...
Задание случайной величины её законом распределения не обладает общностью, так как его нельзя использовать, например, для непрерывных случайных величин. Кроме того, даже для дискретных случайных величин закон распределения не удовлетворяет практическим требованиям. Например, с точки зрения практики событие, состоящие в том, что некоторый прибор проработает, например, 1000 ...
В главе 1 были рассмотрены случайные события и правила определения их вероятностей. Наряду со случайными событиями в теории вероятностей вводится в рассмотрение очень важное понятие случайной величины. Приведем примеры, поясняющие понятие случайной величины. Пример 1. Число родившихся мальчиков среди пяти новорожденных есть случайная величина, которая может принять значения 0, ...
Химические анализы поступают из 2-х больших групп лабораторий, при этом количество лабораторий в этих группах одинаково. Найти вероятность того, что из 100 лабораторий, составляющих обе группы лабораторий а) к первой группе относятся 48 лабораторий, б) наивероятней-шее число лабораторий, относящихся к первой группе, в) к первой группе относятся не менее 48 лабораторий. ...
Пусть некоторый оператор связи обслуживает 400 абонентов. Для каждого абонента, обслуживаемого этим оператором, вероятность того, что в течение часа он позвонит, равна 0,01. Найти вероятность следующих событий: а) в течение часа позвонят 5 абонентов, б) в течение часа позвонят не более 4 абонентов, в) в течение часа позвонят не менее 3 абонентов. Решение. Из условия задачи ...
Вероятность того, что лампочка, изготовленная данным заводом, является бракованной, равна 0,02. Для контроля наудачу отобрано 1000 лампочек. Оценить вероятность того, что частота бракованных лампо-чек в выборке отличается от вероятности 0,02 менее чем на 0,01. Решение. Пусть k - число бракованных лампочек в выборке. Необхо-димо оценить вероятность выполнения неравенства ...
Учебник по горному делу издан тиражом 10000 экземпля-ров. Вероятность того, что экземпляр учебника сброшюрован неправильно, равна 0,0001. Найти вероятность того, что тираж содержит ровно 5 бракован-ных книг. Решение. По условию задачи n = 10000, p = 0,0001, q = 0,9999. Находим npq = 10000 × 0,0001 × 0,9999 1 < 20. Используем далее формулу Пуассона. Применительно к ней l = ...
Вероятность наступления события А в каждом из 900 независимых испытаний равна 0,8. Найти вероятность того, что событие А произойдет: а) ровно 750 раз, б) от 710 до 740 раз. Решение. а) 1. По условию задачи n = 900, p = 0,8, q = 0,2, k = 750. На-ходим npq = 900 × 0,8× × 0,2 = 144 > 20. Используем далее локальную и интег-ральную формулы Лапласа. 2. 3. б) 1. npq = 144 > ...
1. По данным, приведенным в условии задачи, выделяем значения, k1, k2, p и находим npq. Если npq ≥ 20, то переходим к n.2 вычисления вероятности Pn (k1 ≤ k ≤ k2) по формуле Муавра - Лапласа. 2. Определяются по формулам для x1 и x2 их значения и по таблице приложения 2 находятся значения Ф(х1), Ф(х2). 3. Учитывая свойства Ф(х), получаем значение Pn (k1 ≤ k ≤ k2 ) по формуле ...
В тех случаях, когда в задаче требуется вычислить вероятность того, что в n независимых испытаниях событие А появляется не менее k1 раз и не более k2 раз (Pn(k1 ≤ k ≤ k2 )) при достаточно большом n, то необходимо использовать приближенную формулу , (2.10) где При этом предполагается, что вероятность наступления события А в каждом испытании постоянна и отлична от нуля и ...
В практике применения приближенных формул имеют место случаи, когда число испытаний n велико, а величина вероятности p не стремится к 0, т.е. p не близка к 0. Тогда условие теоремы Пуассона не выполняется, и для вычисления вероятности Pn(k) биномиального типа используются локальная и интегральная теорема Муавра–Лапласа. Теорема (локальная) Муавра–Лапласа. Если вероятноcть р ...
Вычисление Pn(k) при больших значениях n и k приводит к большим вычислительным сложностям. Затруднения возрастают также в связи с воз-можными малыми значениями вероятности p, входящими в формулу Бернулли. Поэтому возникает необходимость получения более простых приближенных формул вычисления вероятности Pn(k). Такие формулы, называемые асимптотическими, существуют и ...
Проведено 5 независимых испытаний, каждое из которых заключается в одновременном подбрасывании 2-х монет. Найти вероятность того, что ровно в 3-х испытаниях появилось два герба. Решение. В данном случае вероятность выпадения 2-х гербов в задаче не приведена. Поэтому вычисляется эта вероятность с помощью применения теоремы умножения независимых событий: p = p(A1×A2) = ...
Вероятность изготовления стандартной детали равна 0,95. Сколько должно быть деталей в контрольной партии, чтобы наиболее вероятное число нестандартных деталей в ней было равно 55? Решение. В условии задачи подразумевается независимость событий Аi – изготовление стандартных деталей с вероятностями обеспечения их стандартных свойств, равными 0,95. Но в условии задачи речь идет о ...
Контрольное задание состоит из 10 вопросов, предусмат-ривающих ответы "да" или "нет". а). Найти наиболее вероятное число правильных ответов, которые выберет учащийся, если по каждому вопросу он выбирает ответ наудачу. б). Найти также вероятность наиболее вероятного числа правильных ответов. Решение. а). Из условия задачи легко устанавливается, что в ней имеет место схема ...
Монета брошена 10 раз. Найти вероятность того, что герб выпадет: а) от 4-х до 6-ти раз; б) хотя бы один раз. Решение. События выпадения герба при многократном бросании монеты являются независимыми. В каждом испытании герб, так же, как и надпись, выпадает с вероятностью р = 0,5. Таким образом, задача относит-ся к схеме и формуле Бернулли. Для случая а) искомая вероятность ...
Вероятность выигрыша по лотерейному билету равна 0,05. Какова вероятность того, что среди купленных десяти билетов окажутся два выигрышных? Решение. Анализ условия задачи указывает, что в ней имеет место схема Бернулли (покупка билетов – независимые события). Требуется найти вероятность двух успехов из десяти, т.е. n = 10, k = 2. Вероятность успеха р = 0,05, неуспеха q = 0,95. ...
Определение. Число k0 наступления события А в n независимых испытаниях, образующих схему Бернулли, называется наивероятнейшим, если вероятность осуществления этого события Pn(k0), по крайней мере не меньше вероятности других событий Pn(k) при любых k. Для определения наивероятнейшего числа k0 рассмотрим систему неравенств (2.5) C помощью формулы Бернулли и формулы числа ...