1. Проанализировать условие поставленной задачи и на основе этого анализа установить, что в задаче реализуется схема Бернулли, т.е. : — события, соответствующие опытам α1, α2, … , αn, о которых указано в задаче, независимы; — опыты проводятся при неизменном комплексе условий их осуществлений; — в простейшем случае вероятности наступления события А в n опытах p = const. 2. В ...
Ранее в п. 1.4 введены понятия зависимых и независимых событий. С понятием независимых событий связано и имеет широкое применение понятие независимых опытов или испытаний. Опыты α1, α2, … , αn называются независимыми, если любая комбинация их исходов является совокупностью независимых событий. Иначе, если в задаче проводится ряд многократно повторяющихся испытаний α1, α2, …, ...
Для бурения скважин на операции с потреблением энергии (бурение, подъем и спуск бура) затрачивается только часть рабочего времени. В остальное время осуществляется скрепление труб, их наращивание, ремонт и др. Остановка бурового станка есть случайное событие. Рассматривается 5 буровых станков. Вероятности того, что станки №1, №2, №3, №4, №5 не потребляют энергии, ...
60% учащихся в школе – девочки. 80% девочек и 75% мальчиков имеют мобильные телефоны. В учительскую принесли кем-то потерянный телефон. Какова вероятность, что этот телефон принадлежал девочке? (Мальчику?) Решение. Пусть событие А – владелец телефона, событие H1 – телефон принадлежит девочке, р(H1) = 0,6; событие H2 – телефон принадлежит мальчику, р(H2) = 0,4; условные ...
Некоторый завод (обозначим его H1) производит 40% всей продукции, а второй завод H2 – 60%. В среднем 9 единиц продукции из 1000 единиц продукции, произведённой на заводе H1, оказалось браком и 4 единицы из 1000 – брак завода H2. Случайным образом выбрана одна единица продукции и она оказалась бракованной. Какова вероятность того, что она произведена на заводе H2? Решение. ...
Теорема гипотез, приводящая к получению формул Бейеса (английский математик (1702 – 1761)), является следствием теоремы о полной вероятности. Формула Бейеса позволяет переоценить вероятности гипотез Hi, принятых до испытания, по результатам проведённого испытания, в итоге которого появилось событие А. Томас Бейес (1702 – 1761) Теорема гипотез. Пусть в условиях ...
На практике часто необходимо определить вероятность интересующего события, которое может произойти с одним из событий, образующих полную группу. Следующая теорема, являющаяся следствием теорем сложения и умножения вероятности, приводит к выводу важной формулы для вычисления вероятности подобных событий. Эта формула называется формулой полной вероятности. Пусть H1, H2, ... , Hn ...
Записать формулы для вероятностей безотказной работы двух цепей, показанной на рисунке 1.18, при условии, что вероятность безотказной работы каждого элемента равна p. Рис.1.18 Для упрощения дальнейших расчетов разобьём цепь на три участка 1-й, 2-й и 3-й (рис. 1.18). 1) Вероятность безотказной работы 1-го участка р1 = p; 2) Вероятность безотказной работы 2-го участка: ...
Записать формулы для вероятностей безотказной работы двух цепей смешанного типа, показанных на рисунке 1.17. а б Рис.1.17 Решение. Из предыдущих формул для вероятностей р(С) и р(D) видно, что при последовательных соединениях элементов вероятность р(С) вычисляется по состояниям работы элементов, а при параллельном – вероятность Р(D) вычисляется по состояниям отказов , ...
Рассмотренные выше теоремы сложения и умножения вероятностей применяются в технике при расчёте надёжности функциональных цепей, включающих в свой состав последовательные и параллельные участки соединения (формирования) элементов цепей (приборов). Простейшими моделями этих цепей являются электрические цепи, элементами которых являются независимо работающие приборы. Рассмотрим ...
Из цифр 1, 2, 3, 4 , 5 выбирается одна, а из оставшихся – вторая. Найти вероятность того, что будет выбрана нечётная цифра а) первый раз (событие A), б) второй раз (событие В), в) оба раза (событие С). Ответ: р(А) = 0,6; р(В) = 0,5; р(С) = 0,3.
Детали проходят 3 операции обработки. Вероятность получения брака на первой операции равна 0,02, на второй – 0,03, на третьей 0,02. Найти вероятность получения детали без брака после 3-х операций, предполагая, что брак на отдельных операциях реализуется независимо. Ответ: р(А) = 0,98∙ ∙ 0,97 ∙ 0,98 = 0,93.
В ящике 10 деталей, среди которых 7 окрашенных. Сборщик наудачу достаёт 4 детали. Найти вероятность того, что все детали окрашенные. Решить задачу двумя способами: с использованием комбинаторики и по формуле, соответствующей формуле (1.9) . Ответ: р(А) = = 1/6; р(А) = 7/10 ∙ 6/9 ∙ 5/8 ∙ 4/7 = 1/6.
Три стрелка попадают в мишень соответственно с вероятностями 0,9; 0,8 и 0,7. Какова вероятность того, что: а) хотя бы один попадёт в мишень; б) только один из стрелков попадёт в мишень; в) все три стрелка попадут в мишень; г) ни один из стрелков не попадёт в мишень; д) ходя бы один из стрелков не попадёт в мишень? Решение. а) Пусть событие А – хотя бы один из стрелков попадёт ...
Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для первого стрелка равна р(А1) = х (неизвестная величина), для второго р(А2) = 0,7. Известно также, что вероятность ровно одного попадания при одном выстреле обоих стрелков равна 0,38. Найти р(А1). Решение. Пусть событие С – ровно одно попадание при одном выстреле. Тогда С = ∙+∙А2. Вероятность появления события С по формуле ...
Два стрелка попадают в мишень соответственно с вероятностями 0,9 и 0,8. Какова вероятность того, что при одном залпе хотя бы один из них попадёт в мишень? Решение. Пусть события А и В – соответственно попадание в мишень 1-го и 2-го стрелка. Тогда С = А + В. События А и В – совместные. Поэтому по формуле (1.11) для суммы двух совместных событий получим р(А + В) = р(А) + р(В) ...
Теорема. Вероятность суммы двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их произведения, т.е. р(А+В) = р(А) + р(В) – р(А∙В) . (1.11) Доказательство. Действительно, представим событие А + В , состоящее в наступлении хотя бы одного из двух событий А и В, в виде суммы трёх несовместных событий: А+В = А∙+∙В+А∙В. Тогда по теореме сложения: р(А+В) ...
Несколько событий А1, А2 ... Аn называются независимыми (зависимыми) в совокупности, если независимы (зависимы) любые два из них и независимы (зависимы) любое из данных событий и любые комбинации (произведения) остальных событий. Например, три события А, В, С независимы (независимы в совокупности), если независимы события А и В, А и С, В и С, А и В × С, В и А× С, С и А× В. Для ...
Пусть А и В – два события, рассматриваемые в данном испытании. При этом наступление одного из событий может влиять на возможность наступления другого. Например, наступление события А может влиять на событие В или наоборот. Для учёта такой зависимости одних событий от других вводится понятие условной вероятности. Определение. Если вероятность события В находится при условии, ...
Пусть события А и В ― несовместные, причем вероятности этих событий известны. Вопрос: как найти вероятность того, что наступит одно из этих несовместных событий? На этот вопрос ответ дает теорема сложения. Теорема. Вероятность появления одного из двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий: p(А + В) = p(А) + p(В) (1.6) Доказательство. Действительно, пусть ...