В общем случае динамика линейных АИС описывается неоднородным линейным дифференциальным уравнением с постоянными вещественными коэффициентами:
(1.1)
где — постоянные вещественные коэффициенты;
— производные 1-го, …, n-го порядка от выходной величины;
— производные 1-го, …, n-го порядка от входной величины.
Операционное исчисление, основанное на преобразовании Лапласа и Карсона – Хевисайда, широко применяется для расчёта процессов, которые описываются линейными дифференциальными уравнениями. Напомним, что если f(t) – оригинал функции, то функция F(p), называемая изображением, по Карсону – Хевисайду определяется следующим образом:
(1.2)
Изображение некоторых простейших функций следующие:
а). Изображение постоянной. Если f(t)=A, то подставив f(t) в (1.2), получим:
. б). Изображение первой производной. Подставим
в (1.2) и получим:
.
Интегрирование произведём по частям. Обозначим
и
;
.
Cледовательно,
.
Но
,
а
.
Таким образом,
.
в). Изображение интеграла. Подставим в (1.2) и получим:
. Интегрирование произведём по частям. Обозначим
. Cледовательно
. Применяя операторный метод, основанный на преобразовании Карсона – Хевисайда, можно записать операторное выражение соответствующее дифференциальному уравнению (1.1):
, (1.3)
где Y(p) и X(p) – соответственно изображения функций y(t) и x(t).
Если B(p) – характеристический полином степени m правой части уравнения (1.3), а А(р) – характеристический полином степени n левой части уравнения (1.3), то
.
После того как найдено изображение Y(p), находится сама функция-оригинал y(t) с помощью обратного преобразования.
Величина
(1.4)
называется передаточной функцией системы. Она равна отношению изображения выходной величины к изображению входной величины при нулевых начальных значениях.
Передаточная функция является важнейшей характеристикой звеньев АИС, так как она полностью описывает их динамические свойства и естественным образом связана с переходной и частотными функциями.
Чтобы найти связь между переходной h(t) и передаточной К(р) функциями, рассмотрим соотношение
и предположим, что x(t) – единичная ступенчатая функция. Тогда y(t) = h(t) или в изображениях
,
и
. (1.5)
Комплексный коэффициент усиления системы получается из передаточной функции путём замены p=j, т. е.
. (1.6)
K(j) представляет собой комплексное число и может быть записано в алгебраической и показательной формах:
.
Зависимость U=f( называют действительной (вещественной) частотной характеристикой звена или соответственно системы. Зависимость V=f() — мнимая частотная характеристика. Зависимость А=f() — амплитудная частотная характеристика и =f() — фазовая частотная характеристика. Зависимость Л=f(lg) называют логарифмической частотной характеристикой. Характеристика , построенная в полярных координатах, называется амплитудно-фазовой частотной характеристикой.
Пусть система образована несколькими последовательно включёнными звеньями, например тремя (рис.1.6).
Обозначим: K1(p) — передаточная функция первого звена; К2(р) – второго; Кз(р) — третьего. Тогда операторные изображения выходных величин звеньев можно выразить через операторные изображения входных величин звеньев следующим образом:
Подставив первое во второе, а второе в третье получим:
или
,
где
Таким образом, для получения передаточной функции нескольких последовательно включённых звеньев следует перемножить передаточные функции этих звеньев.
Пусть система образована несколькими параллельно включёнными звеньями, например тремя (рис.1.7).
Обозначим: K1(p) — передаточная функция первого звена; К2(р) – второго; Кз(р) — третьего. Тогда операторные изображения выходных величин звеньев можно выразить через операторные изображения входных величин звеньев следующим образом:
Выходная величина всей системы определится как сумма выходных величин отдельных звеньев:
или
где
.
Таким образом, для получения передаточной функции нескольких параллельно включённых звеньев следует просуммировать передаточные функции этих звеньев.