Дисперсия и среднеквадратичное отклонение

Математическое ожидание не дает полного представления о законе распределения случайной величины, о чем свидетельствует следующий пример.

Пример. Заданы две дискретные случайные величины законами распределения:

	–2	0	2	и		–100	0	100
	0,4	0,2	0,4			0,3	0,4	0,3

Для этих законов распределения получаются и :

Следовательно, рассматриваемые законы имеют одинаковые математические ожидания. Однако, возможные значения величин X и Y рассеяны около своих средних значений по-разному, т.к. возможные значения дискретной случайной величины Х расположены гораздо ближе к , чем значения случайной величины Y относительно . Таким образом, случайная величина Y более «рассеяна» относительно . Поэтому для идентификации разброса (или «рассеивания») случайных величин вводится очень важная числовая характеристика – дисперсия (dispersion – «рассеивание»).

Определение. Дисперсией (рассеиванием) случайной величины Х называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания.

Дисперсия обозначается . Таким образом, по определению .

Формулы для вычисления дисперсии по определению:

– для дискретной случайной величины, (3.12)

– для непрерывной случайной величины. (3.13)

Пример. Дана дискретная случайная величина X:

	1	2	5
	0,3	0,5	0,2

Пользуясь определением дисперсии , найти ее.

1) Найдем .

2) Найдем все возможные значения квадрата отклонения Х от величины ее :

;

;

.

Таким образом, получается такой закон распределения для квадрата отклонения Х от .

	1,69	0,09	7,29
	0,3	0,5	0,2

3) Определение по формуле (3.12)

Из примера видно, что приведенный способ вычисления является достаточно громоздким. Получим более простую формулу для вычисления , пользуясь свойствами .

(3.14)

Для непрерывной случайной величины аналогично получается такая расчетная формула:

(3.15)

Действительно:

для вышеприведенного примера с использованием формулы (3.14) вычисляется проще:

	1	4	25
	0.3	0.5	0.2

Замечание. Дисперсия имеет размерность, равную квадрату размерности случайной величины, что представляет неудобство использования в практических оценках рассеивания . В силу этого преимущественно на практике применяется среднеквадратичное отклонение, которое определяется как корень квадратный из дисперсии.

(3.16)

Замечание. Дисперсия числа появления события А (вероятность события А равна p) в одном испытании равна .

Действительно, в предыдущем разделе получено, что для данного испытания Тогда для получим:

:	0	1
:

Этот результат будет использоваться в дальнейшем при рассмотрении распределений.