Формула Пуассона

Вычисление P_n(k) при больших значениях n и k приводит к большим вычислительным сложностям. Затруднения возрастают также в связи с воз-можными малыми значениями вероятности p, входящими в формулу Бернулли. Поэтому возникает необходимость получения более простых приближенных формул вычисления вероятности P_n(k). Такие формулы, называемые асимптотическими, существуют и утверждаются теоремами

Пуассона, локальной и интегральной теоремами Муавра – Лапласа. Данные приближенные формулы при боль-шом числе испытаний дают сколь угодно малую относительную погрешность.

Теорема Пуассона. Если число испытаний с событиями A₁, A₂, … , A_n неограниченно увеличивается (n → ¥) и вероятность наступления событий A_n в каждом испытании неограниченно уменьшается (p→ 0), причем произведение n × p стремится к постоянному числу λ (n × p → λ), то вероятность P_n(k) удовлетворяет предельному соотношению

(2.7)

Доказательство. Действительно, преобразуя формулу Бернулли с уче-том получим

Так как

и

то, следовательно, Что и требовалось доказать.

Замечание 11. Строго говоря, условие теоремы Пуассона, в которой предполагается p → 0 при n → ¥ (n× p → λ), противоречит исходному предположению схемы испытаний Бернулли, состоящему в том, что в каждом испытании p = const. Однако, если вероятность p – постоянна и мала, а число испытаний n велико n ≥ 50 и λ = n× p ≤ 10, то из предельного соотношения (2.7) следует приближенная формула Пуассона:

(2.8)

Значения функции приводятся в таблице (см. приложение 3).

Пример 7. С камнедобывающего карьера на отделку метро отправлено 1500 ящиков облицовочной плиты. Вероятность того, что в пути упаковочный ящик может быть поврежден, равна 0,002. Найти вероятность того, что в пути будет повреждено не более четырех ящиков.

Решение. Событие А – в пути будет повреждено не более четырех ящиков. В данной задаче n = 1500 >>1, p = 0,002 <<1; n× p = λ = 3. Вероятность события А найдем по формуле Пуассона:

P₁₅₀₀ (k ≤ 4) = P₁₅₀₀(0) + P₁₅₀₀(1) + P₁₅₀₀(2) + P₁₅₀₀(3) + P₁₅₀₀(4),

C использованием таблицы приложения 3 вычисления упрощаются. В этом случае вероятность P₁₅₀₀ (k ≤ 4) записывается в виде функции 2-х параметров P(k,λ). Тогда P₁₅₀₀ (k ≤ 4) = P(0,3) + P(1,3) + P(2,3) + P (3,3) + P(4,3) = 0,0498 + 0,1494 + 0,2240 + 0,2240 + 0,1680 = 0,815.