Интегральная предельная теорема Муавра-Лапласса

В тех случаях, когда в задаче требуется вычислить вероятность того, что в n независимых испытаниях событие А появляется не менее k₁ раз и не более k₂ раз (P_n(k₁ ≤ k ≤ k₂ )) при достаточно большом n, то необходимо использовать приближенную формулу

, (2.10)

где При этом предполагается, что вероятность наступления события А в каждом испытании постоянна и отлична от нуля и единицы.

Для упрощения вычислений при использовании формулы (2.10) вводится специальная функция (нормированная функция Лапласа):

. (2.11)

Если выразить правую часть (2.10) через функцию Лапласа (2.11), то получим:

Тогда равенство (2.10) приводится к виду:

(2.12)

где

Именно формула (2.12), которая называется интегральной формулой Муавра-Лапласа, используется в практических вычислениях, и процесс вычисления существенно упрощается путем использования затабулирован-ных значений функции Лапласа (см. приложение 2). Выполняя вычисления, необходимо учитывать свойства функции Лапласа (рис. 2.6).

Свойства функции Ф(х):

1) т.е. Ф(х) – нечетная функция.

Действительно, Сделаем замену переменной t = –z. Тогда dt = – dz. Пределами интегрирования будут числа 0 и х. Получим

2) Функция Ф(х) монотонная возрастающая, причем при Практически можно считать, что уже при x > 4 Ф(x) ≈ 1/2.

Действительно, найдем предел функции Ф(х) при

Далее осуществляя замену переменной находим

Здесь учтено, что интеграл Эйлера – Пуассона равен , т.е.