Мода, медиана. Моменты случайных величин. Асимметрия, эксцесс. Квантили

Модой дискретной случайной величины называется значение этой величины, принимаемое с наибольшей вероятностью в сравнении с двумя соседними значениями. Мода обозначается через . Для непрерывной случайной величины мода — точка максимума (локального) плотности .

Если мода единственна, то распределение случайной величины называется унимодальным, в противном случае — полимодальным (рисунок 3.13).

Рис 3.13

Медианой непрерывной случайной величины называется такое ее значение , для которого

,

т. е. одинаково вероятно, окажется ли случайная величина меньше или больше (рис. 3.13).

С помощью функции распределения равенство для медианы можно записать в виде . Отсюда .

Для дискретной случайной величины медиана обычно не определяется.

Математическое ожидание и дисперсия являются частными случаями следующих более общих понятий – моментов случайной величины .

Начальным моментом порядка случайной величины называется математическое ожидание -й степени этой величины, и обозначается через . Таким образом, по определению .

Для дискретной случайной величины начальный момент выражается суммой: , а для непрерывной случайной величины – интегра-лом: . В частности, , т.е. начальный момент 1-го порядка есть математическое ожидание.

Центральным моментом порядка случайной величины называется математическое ожидание величины обозначается через

Таким образом, по определению В частности, т.е. центральный момент 2-го порядка есть дисперсия; (по свойству 4 математического ожидания).

Для дискретной случайной величины имеем а для непрерывной случайной величины : .

Центральные моменты могут быть выражены через начальные моменты. Например, Действительно:

;

и т.д.

Среди моментов высших порядков особое значение имеют центральные моменты 3-го и 4-го порядков, называемых соответственно коэффициентами асимметрии и эксцесса.

Коэффициентом асимметрии («скошенности») случайной величины называется величина

.

Если , то кривая распределения более полога справа от (рисунок 3.14).

Рис. 3.14

Если , то кривая распределения более полога слева от (рисунок 3.15).

Рис. 3.15

Коэффициентом эксцесса («островершинности») случайной величины называется величина

.

Величина характеризует островершинность или плосковершинность распределения. Для нормального закона распределения и ; остальные распределения сравниваются с нормальным: если — более островершинные, а распределения «плосковершинные» имеют (рисунок 3.16).

Рис. 3.16

Кроме рассмотренных выше числовых характеристик случайной величины в приложениях используются так называемые квантили.

Квантилью уровня случайной величины называется решение уравнения

,

где — некоторое число, .

Квантили , и имеют свои названия: нижняя квантиль, медиана (), верхняя квантиль соответственно. Они делят числовую прямую на 4 части, вероятности попадания в которые равны 0,25 (рисунок 3.17).

Рис. 3.17