Модой дискретной случайной величины называется значение этой величины, принимаемое с наибольшей вероятностью в сравнении с двумя соседними значениями. Мода обозначается через
. Для непрерывной случайной величины
мода
— точка максимума (локального) плотности
.
Если мода единственна, то распределение случайной величины называется унимодальным, в противном случае — полимодальным (рисунок 3.13).
Рис 3.13
Медианой непрерывной случайной величины
называется такое ее значение
, для которого
т. е. одинаково вероятно, окажется ли случайная величина меньше
или больше
(рис. 3.13).
С помощью функции распределения равенство для медианы можно записать в виде
. Отсюда
.
Для дискретной случайной величины медиана обычно не определяется.
Математическое ожидание и дисперсия являются частными случаями следующих более общих понятий – моментов случайной величины .
Начальным моментом порядка случайной величины
называется математическое ожидание
-й степени этой величины, и обозначается через
. Таким образом, по определению
.
Для дискретной случайной величины начальный момент выражается суммой:
, а для непрерывной случайной величины
– интегра-лом:
. В частности,
, т.е. начальный момент 1-го порядка есть математическое ожидание.
Центральным моментом порядка случайной величины
называется математическое ожидание величины
обозначается через
Таким образом, по определению В частности,
т.е. центральный момент 2-го порядка есть дисперсия;
(по свойству 4 математического ожидания).
Для дискретной случайной величины имеем
а для непрерывной случайной величины
:
.
Центральные моменты могут быть выражены через начальные моменты. Например, Действительно:
Среди моментов высших порядков особое значение имеют центральные моменты 3-го и 4-го порядков, называемых соответственно коэффициентами асимметрии и эксцесса.
Коэффициентом асимметрии («скошенности») случайной величины
называется величина
Если , то кривая распределения более полога справа от
(рисунок 3.14).
Рис. 3.14
Если , то кривая распределения более полога слева от
(рисунок 3.15).
Рис. 3.15
Коэффициентом эксцесса («островершинности») случайной величины
называется величина
Величина характеризует островершинность или плосковершинность распределения. Для нормального закона распределения
и
; остальные распределения сравниваются с нормальным: если
— более островершинные, а распределения «плосковершинные» имеют
(рисунок 3.16).
Рис. 3.16
Кроме рассмотренных выше числовых характеристик случайной величины в приложениях используются так называемые квантили.
Квантилью уровня случайной величины
называется решение уравнения
Квантили ,
и
имеют свои названия: нижняя квантиль, медиана (
), верхняя квантиль соответственно. Они делят числовую прямую на 4 части, вероятности попадания в которые равны 0,25 (рисунок 3.17).
Рис. 3.17