Математическое ожидание случайной величины

Математическим ожиданием (или средним значением) дискретной случайной величины Х с законом распределения

где , называется число, равное сумме парных произведений всех значений этой случайной величины на соответствующие вероятности.

Иначе, математическое ожидание – это среднее арифметическое значе-ние случайной величины Х, взвешенное по вероятностям её появления, т.е.

.

Математическое ожидание (далее будет использоваться аббревиатура М.О.) обозначается здесь (в литературе используются и другие обозначения, например: и др.). Таким образом, по определению

(3.8)

Если ,, … , , … т.е случайных величин бесконечное (но счетное) число, то , причем ряд в правой части предполагается абсолютно сходящимся (если ряд не сходится, то случайная величина Х М.О. не имеет).

Математическим ожиданием непрерывной случайной величины с плотностью вероятностей называется число, вычисляемое с помощью (в общем случае) несобственного интеграла:

(3.9)

Если , то (3.9) переходит в обычный определенный интеграл

(3.10)

Для формулы (3.9) предполагается, что несобственный интеграл является сходящимся абсолютно, т.е. . В противном случае непрерывная случайная величина, принадлежащая всей числовой оси

( ), М.О. не имеет.

Замечание 1. Можно показать, что математическое ожидание дискрет-ной случайной величины Х приближенно равно среднему арифметическому всех ее значений (при достаточно большом числе испытаний).

Действительно, пусть произведено – испытаний. Причем, случайная величина повторилась раз, случайная величина повторилась раз и т.д. случайная величина – раз. Тогда среднее арифметическое для данного закона распределения выражается по формуле:

Но из статистического определения вероятности следует, что

Математическое ожидание имеет также физический смысл для дискретно заданных элементов масс гибкого стержня:

т.к .

Замечание 2. Математическое ожидание имеет размерность случайной величины.