Показательное (экспоненциальное) распределение

Непрерывная случайная величина Х имеет показательное (экспоненциальное) распределение, если ее плотность вероятностей имеет вид

Кривая плотности и график функции распределения случайной величины Х показан на рисунке 3.21 а):

Функция (рисунок 3.21 б) получается путем интегрирования :

При x < 0 Найдем M(x) и D(x):

таким образом, ; Применяя дважды формулу интегрирования по частям в последнем интеграле, окончательно получим:

т.е. Вероятность попадания случайной величины Х, распределенной по показательному закону, в интервал (a,b) равна

Замечание. Случайные величины с показательным законом распределения реализуются в теории массового обслуживания, в теории надежности, в физике при оценке длительности работы физических приборов. В последнем случае, при определении времени безотказной работы прибора, функция (вероятность отказа прибора за время t) называется функцией надежности.

Пример. Дана функция

При каком значении постоянной a функция f(x) является плотностью вероятности некоторой случайной величины X. Вычислить вероятность попадания случайной величины Х в промежуток [0; 2] двумя способами: на основе f(x) и на основе F(x).

Решение. Для определения a используется условие нормировки плотности вероятности:

.

Следовательно, функция f(x) имеет вид:

Это есть функция распределения для показательного закона. Получим интегральную функцию:

Таким образом:

–

вероятность, полученная по функции f(x).

–

вероятность, полученная по функции F(x).