Правило «трех сигм»

Полагая в формуле (3.23) получим вероятность, гарантирующую такое отклонение: В этом случае вероятность противоположного события Это значение соответствует очень маленькой вероятности (отклонение от «а» менее, чем на 1%), и поэтому такой малой вероятностью можно в большинстве практических задач пренебречь, т.е. отклонение от своего среднего значения меньше, чем – почти достоверное событие. Отсюда вытекает правило «трех сигм».

Если случайная величина распределена по нормальному закону, то абсолютная величина её отклонения от математического ожидания не превосходит утроенного среднего квадратного отклонения.

Замечание 1. Часто это правило используется для идентификации законов распределения случайной величины, если они заранее неизвестны. Тогда, если абсолютная величина отклонения случайной величины от не превосходит утроенного среднеквадратичного отклонения, то распределение можно считать нормальным.

Пример 3. В условиях задачи в примере 2 найти пределы, в которых практически лежат все контрольные размеры детали.

Решение. Правило «трех сигм» утверждает, что для нормально распределенной случайной величины . В нашем случае , , следовательно, .

Замечание 2. Если применять правило «трех сигм» к результатам измерений (например, измерений длин сторон подземных полигонов на шахтах), то в соответствии с этим правилом в промежутке оказывается 99.7% произведенных измерений. Расчеты показывают также, что в промежутке оказывается 95.5% измерений, а в промежутке –68.3% измерений. Эти оценки следует учитывать в практических расчетах.

Замечание 3. Нормальный закон распределения применим и тогда, когда изучаемая случайная величина является суммой большего числа случайных слагаемых, каждое из которых может соответствовать любым законам распределения. Причем, среди слагаемых не должны присутствовать сильно выделяющиеся по и .

Строгое математического обоснование нормальное распределение получило в трудах П.Л. Чебышева, А.А. Маркова и А.М. Ляпунова.