Предельные теоремы теории вероятностей устанавливают связь между теоретическими и экспериментальными характеристиками случайных величин при большом числе испытаний.
Рассматриваются две группы предельных теорем:
– закон больших чисел (устанавливает устойчивость массовых случайных явлений)
– центральная предельная теорема (устанавливает условия, при которых закон распределения суммы большого числа случайных величин неограниченно приближается к нормальному.
Неравенство Чебышева. Если случайная величина Х имеет М(Х) = а и дисперсию D(X), то для “e > 0 справедлива оценка
устанавливающая верхнюю границу вероятности события. В случае противоположного события имеем соответственно оценку:
Доказательство. Действительно, имеем
так как
½x – a½≥e Þ (x-a)2 ≥ e2 Þ (x ‒ a)2 / e2≥ 1.
Тогда получим
т.е. или – нижняя граница события.
Частный случай неравенства Чебышева (неравенство Маркова)
Для любой неотрицательной случайной величины, имеющей математическое ожидание M(Х) и e > 0, справедливо неравенство
устанавливающее верхнюю границу оценки события
Доказательство. Действительно
Примеры
1. Среднее число дождливых дней в году в данном районе равно 80. Оценить вероятность того, что в этом районе будет не более 100 дождливых дней в году.
Пусть X – случайная величина число дождливых дней в году и M(Х) = 80. По неравенству Маркова
2. Средний вес клубня картофеля равен 120 г. Какова вероятность того, что наугад взятый клубень картофеля весит не более 300 г. Пусть X – случайная величина – вес клубня и M(Х) = 120, Х > 0. По неравенству Маркова имеем
3. Случайная величина X имеет закон распределения:
X |
2 |
3 |
4 |
4,5 |
5 |
6 |
p |
0,1 |
0,4 |
0,3 |
0,05 |
0,05 |
0,1 |
Оценить вероятность того, что Х примет значение Х > 4.
По неравенству Маркова с учетом Х > 0 имеем
M(Х) = 0,2+1,2+1,2+0,225+0,25+0,6 = 3,675 Þ – верхняя оценка.
4. Cлучайная величина Х имеет D(X) = 0,01. Оценить вероятность того, что случайная величина Х отличается от М(X) = а не более, чем на 0,25. Относительно знака X нет информации. Поэтому воспользуемся неравенством Чебышева