Распределение (хи-квадрат) с n степенями свободы — это распределение суммы квадратов n независимых стандартных нормальных случайных величин.
Распределение (хи – квадрат)– распределение случайной величины (причем математическое ожидание каждой из них равно 0, а среднее квадратическое отклонение-1)
где случайные величины независимы и имеют одно и тоже распределение. При этом число слагаемых, т.е., называется “числом степеней свободы” распределения хи-квадрат. Число хи-квадрат опредляется одни параметром-числом степеней свободы. С увеличением числа степеней свободы распределение медленно приближается к нормальному.
Тогда сумма их квадратов
является случайной величиной, распределенной по так называемому закону «хи-квадрат» с k = n степенями свободы; если же слагаемые связаны каким-либо соотношением (например, ), то число степеней свободы k = n – 1.
Плотность этого распределения
Здесь – гамма-функция; в частности, Г(п + 1) = п! .
Следовательно, распределение «хи-квадрат» определяется одним параметром – числом степеней свободы k.
Замечание 1. С увеличением числа степеней свободы распределение «хи-квадрат» постепенно приближается к нормальному.
Замечание 2. С помощью распределения «хи-квадрат» определяются многие другие распреде-ления, встречающиеся на практике, например, распределение случайной величины – длины случайного вектора (Х1, Х2,…, Хп), координаты которого независимы и распределены по нормальному закону.
Впервые χ2-распределение было рассмотрено Р.Хельмертом (1876) и К.Пирсоном (1900).
Мат.ожид.=n; D=2n