Статистическое определение вероятности

Случайность наступления событий связана с невозможностью предсказать заранее исход того или иного испытания. Однако, если рассматривать, например, испытание: многократное бросание монеты, ω₁, ω₂, … , ω_n, то получается, что приблизительно в половине исходов (n / 2) обнаруживается определённая закономерность, которая соответствует понятию вероятности.

Под вероятностью события А понимается некоторая числовая характеристика возможности наступления события А. Обозначим эту числовую характеристику р(А). Существуют несколько подходов к определению вероятности. Основными из них являются статистический , классический и геометрический.

Пусть произведено n испытаний и при этом некоторое событие А наступило n_A раз. Число n_A называется абсолютной частотой (или просто частотой) события А, а отношение называется относительной частотой наступления события А. Относительная частота любого события характеризуется следующими свойствами:

1. 0 ≤ ≤ 1 (относительная частота любого события изменяется от нуля до единицы, так как 0 ≤ n_A ≤ n).

2. = 0 (относительная частота невозможного события равна 0, так как n_A= 0).

3. = 1 (относительная частота достоверного события равна 1, так как n_A = n).

4. (А + В) = (А) +(В). Так как n_A+B = n_A + n_B, тогда

(А + В) = n_A+B /n = (n_A + n_B) / n =(А) + (В).

Основанием для применения методов теории вероятностей к изучению реальных процессов является объективное существование случайных событий, обладающих свойством устойчивости частот. Многочисленные испытания изучаемого события А показывают, что при больших n относительная частота (А) остаётся примерно постоянной.

Статистическое определение вероятности заключается в том, что за вероятность события А принимается постоянная величина р(А), вокруг которой колеблются значения относительных частот (А) при неограниченном возрастании числа испытаний n.

Замечание 1. Отметим, что пределы изменения вероятности случайного события от нуля до единицы выбраны Б. Паскалем для удобства ее вычисления и применения. В переписке с П. Ферма Паскаль указывал, что в качестве указанного промежутка можно было выбрать любой промежуток, например от нуля до ста и другие промежутки. В приведенных ниже задачах в данном пособии вероятности иногда указываются в процентах, т.е. от нуля до ста. В этом случае приведенные в задачах проценты необходимо переводить в доли, т.е. делить на 100.

Пример 1. Проведено 10 серий бросаний монеты, по 1000 бросаний в каждой. Величина(А) в каждой из серий равна 0,501; 0,485; 0,509; 0,536; 0,485; 0,488; 0,500; 0,497; 0,494; 0,484. Эти частоты группируются около р(А) = 0,5.

Этот пример подтверждает, что относительная частота (А) примерно равна р(А), т.е. (А) ≈ р(А). Из этого определения следует, что величина р(А) представляет собой среднее значение числа появления события А m = n_A при n испытаниях.

Замечание 2. Испытания для статистического определения вероятности не обязательно являются равновозможными.

Замечание 3. Теория вероятностей изучает только такие случайные процессы со случайным исходом, в которых реализуется устойчивость относительной частоты события. Теорема Бернулли, излагаемая ниже (в конце 3-й главы), даёт обоснование близости (А) и вероятности р(А).

Замечание 4. Свойства статистической вероятности р(А) полностью соответствуют вышеизложенным свойствам относительной частоты (А) (в записи этих свойств вместо (А) следует указать р(А)).